人邮高数 第2章 第2-3-2题
📝 题目
2．试在图 A、B、C、D 中分别标出函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 $\mathrm{d} y 、 \Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负。 
（A） 
（B） 
（C） 
（D）
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求在图A、B、C、D中分别标出函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的微分 $ \mathrm{d}y $、增量 $ \Delta y $ 以及二者的差 $ \Delta y - \mathrm{d}y $，并说明其正负。
首先明确定义： - 设 $ x $ 在 $ x_0 $ 处有增量 $ \Delta x $（图中通常取 $ \Delta x > 0 $ 或 $ \Delta x < 0 $ 视图形而定）。 - 函数的实际增量： $$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $$ - 函数在 $ x_0 $ 处的微分（线性近似增量）： $$ \mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x $$ - 二者的差： $$ \Delta y - \mathrm{d}y $$ 表示线性近似的误差，其正负由函数图形的凹凸性及 $ \Delta x $ 的符号决定。
下面针对四幅图分别说明（由于无法直接看到原图，根据典型高等数学习题中此类图形的常见情形推断）：
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### 图A - 图形特征：曲线在 $ x_0 $ 处单调递增且为**凸函数**（即 $ f''(x_0) > 0 $），取 $ \Delta x > 0 $。 - 标注： - $ \Delta y $：从 $ (x_0, f(x_0)) $ 到 $ (x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x)) $ 的纵坐标差（实际曲线上的增量）。 - $ \mathrm{d}y $：过 $ (x_0, f(x_0)) $ 的切线上，对应 $ x_0+\Delta x $ 处的纵坐标与 $ f(x_0) $ 的差。 - $ \Delta y - \mathrm{d}y $：曲线与切线之间的垂直距离（在 $ x_0+\Delta x $ 处）。 - 正负：由于凸函数切线在曲线下方，故 $ \Delta y > \mathrm{d}y $，所以 $ \Delta y - \mathrm{d}y > 0 $。
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### 图B - 图形特征：曲线在 $ x_0 $ 处单调递增且为**凹函数**（即 $ f''(x_0) < 0 $），取 $ \Delta x > 0 $。 - 标注：类似图A，但此时切线在曲线上方。 - 正负：$ \Delta y < \mathrm{d}y $，所以 $ \Delta y - \mathrm{d}y < 0 $。
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### 图C - 图形特征：曲线在 $ x_0 $ 处单调递减且为**凸函数**，取 $ \Delta x > 0 $（此时 $ \Delta y < 0 $，$ \mathrm{d}y < 0 $）。 - 标注： - $ \Delta y $ 为负值（向下增量）。 - $ \mathrm{d}y $ 为切线上的负增量。 - 由于凸函数切线在曲线下方，但两者均为负，比较绝对值：$ |\Delta y| > |\mathrm{d}y| $ 即 $ \Delta y $ 更负。 - 正负：$ \Delta y - \mathrm{d}y = (更负的数) - (较不負的数) < 0 $。
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### 图D - 图形特征：曲线在 $ x_0 $ 处单调递减且为**凹函数**，取 $ \Delta x > 0 $。 - 标注：此时切线在曲线上方，$ |\Delta y| < |\mathrm{d}y| $。 - 正负：$ \Delta y - \mathrm{d}y > 0 $。
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**总结正负规律**（设 $ \Delta x > 0 $）： - 凸函数（$ f''>0 $）：$ \Delta y - \mathrm{d}y > 0 $ - 凹函数（$ f''<0 $）：$ \Delta y - \mathrm{d}y < 0 $
若 $ \Delta x < 0 $，则正负相反，但图形中通常默认 $ \Delta x > 0 $ 进行标注。
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**难度评级**：★★☆☆☆