人邮高数 第2章 第2-3-13题
📝 题目
13．扩音器插头为圆柱形，截面半径 $r$ 为 0.15 cm ，长度 $l$ 为 4 cm ．为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为 0.001 cm 的纯铜，问：每个插头约需多少纯铜？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 本题是已知圆柱侧面镀铜的厚度，要求所用纯铜的体积。 圆柱的底面半径 $r = 0.15\,\text{cm}$，长度（高）$l = 4\,\text{cm}$，镀层厚度 $\Delta r = 0.001\,\text{cm}$。 由于镀层极薄，可以用微分近似计算体积增量。
圆柱侧面积公式为 $$ S = 2\pi r l $$ 镀层体积近似等于侧面积乘以厚度，即 $$ \Delta V \approx S \cdot \Delta r = 2\pi r l \cdot \Delta r $$ 代入数值： $$ \Delta V \approx 2\pi \times 0.15 \times 4 \times 0.001 $$ 先计算系数： $$ 2 \times 0.15 \times 4 = 1.2 $$ 因此 $$ \Delta V \approx 1.2 \pi \times 0.001 = 0.0012\pi $$ 取 $\pi \approx 3.1416$，得 $$ \Delta V \approx 0.0012 \times 3.1416 = 0.00376992 \,\text{cm}^3 $$ 四舍五入保留三位有效数字，约为 $$ \boxed{0.00377\,\text{cm}^3} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （直接应用微分近似公式，计算简单，属于基础应用题型。）