同济高数 第7章 第7-7-3题
📝 题目
3．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0,\left.y\right|_{x=0}=6,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=10$ ； （2） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ； （4）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （5）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=5$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ．
💡 答案解析
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以下是各小题的详细求解过程。
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### (1) 方程： $$ y'' - 4y' + 3y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 - 4r + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-3)=0 $$ 解得 $ r_1 = 1,\ r_2 = 3 $，通解为 $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} $$ 由初值条件： $$ y(0) = C_1 + C_2 = 6 $$ $$ y'(0) = C_1 + 3C_2 = 10 $$ 相减得 $ 2C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = 2 $，则 $ C_1 = 4 $。 特解： $$ \boxed{y = 4e^{x} + 2e^{3x}} $$
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### (2) 方程： $$ 4y'' + 4y' + y = 0 $$ 特征方程： $$ 4r^2 + 4r + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (2r+1)^2 = 0 $$ 解得 $ r = -\frac{1}{2} $（二重根），通解为 $$ y = (C_1 + C_2 x)e^{-\frac{1}{2}x} $$ 由初值： $$ y(0) = C_1 = 2 $$ $$ y'(0) = C_2 - \frac{1}{2}C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 - 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 1 $$ 特解： $$ \boxed{y = (2 + x)e^{-\frac{x}{2}}} $$
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### (3) 方程： $$ y'' - 3y' - 4y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 - 3r - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-4)(r+1)=0 $$ 解得 $ r_1 = 4,\ r_2 = -1 $，通解为 $$ y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} $$ 由初值： $$ y(0) = C_1 + C_2 = 0 $$ $$ y'(0) = 4C_1 - C_2 = -5 $$ 相加得 $ 5C_1 = -5 \Rightarrow C_1 = -1 $，则 $ C_2 = 1 $。 特解： $$ \boxed{y = -e^{4x} + e^{-x}} $$
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### (4) 方程： $$ y'' + 4y' + 29y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 + 4r + 29 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = -2 \pm 5i $$ 通解为 $$ y = e^{-2x}(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x) $$ 由初值： $$ y(0) = C_1 = 0 $$ $$ y'(0) = -2C_1 + 5C_2 = 15 \quad\Rightarrow\quad 5C_2 = 15 \Rightarrow C_2 = 3 $$ 特解： $$ \boxed{y = 3e^{-2x} \sin 5x} $$
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### (5) 方程： $$ y'' + 25y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 + 25 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 5i $$ 通解为 $$ y = C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x $$ 由初值： $$ y(0) = C_1 = 2 $$ $$ y'(0) = 5C_2 = 5 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1 $$ 特解： $$ \boxed{y = 2\cos 5x + \sin 5x} $$
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### (6) 方程： $$ y'' - 4y' + 13y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 - 4r + 13 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 2 \pm 3i $$ 通解为 $$ y = e^{2x}(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) $$ 由初值： $$ y(0) = C_1 = 0 $$ $$ y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad 3C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 1 $$ 特解： $$ \boxed{y = e^{2x} \sin 3x} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 均为标准常系数齐次线性微分方程，解法固定，只需解特征方程并代入初值即可。