同济高数 第7章 第7-9-1题
📝 题目
1．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们求解二阶变系数齐次线性微分方程： $$ x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0 $$
**第一步：识别方程类型** 这是欧拉方程（Euler–Cauchy方程），其一般形式为： $$ x^{2} y'' + a x y' + b y = 0 $$ 这里 $a=1$，$b=-1$。
**第二步：设解的形式** 对于欧拉方程，设解为： $$ y = x^{r} $$ 则 $$ y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1) x^{r-2} $$
**第三步：代入方程** 代入原方程： $$ x^{2} \cdot r(r-1) x^{r-2} + x \cdot r x^{r-1} - x^{r} = 0 $$ 化简： $$ r(r-1) x^{r} + r x^{r} - x^{r} = 0 $$ 提取 $x^{r}$（$x>0$时不为零）： $$ \bigl[ r(r-1) + r - 1 \bigr] x^{r} = 0 $$
**第四步：得到特征方程** 因此： $$ r(r-1) + r - 1 = 0 $$ 化简： $$ r^{2} - r + r - 1 = r^{2} - 1 = 0 $$ 解得： $$ r = 1 \quad \text{或} \quad r = -1 $$
**第五步：写出通解** 两个线性无关解为： $$ y_{1} = x^{1} = x, \quad y_{2} = x^{-1} = \frac{1}{x} $$ 因此通解为： $$ y = C_{1} x + \frac{C_{2}}{x} $$ 其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数。
**最终答案：** $$ \boxed{y = C_{1} x + \dfrac{C_{2}}{x}} $$
难度：★☆☆☆☆