同济高数 第7章 第7-9-3题

教材习题

📝 题目

3．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+3 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 这是欧拉型常微分方程，形式为 $$ x^{3} y''' + 3x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 0 $$ 我们采用变量代换法：令 $ x = e^{t} $，即 $ t = \ln x $，并设 $ y(x) = y(e^{t}) = Y(t) $。 则 $$ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \dot{Y} $$ 其中 $\dot{Y} = \frac{dY}{dt}$。 $$ y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \dot{Y} \right) = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d\dot{Y}}{dx} $$ 而 $$ \frac{d\dot{Y}}{dx} = \frac{d\dot{Y}}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \ddot{Y} $$ 所以 $$ y'' = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x^{2}} \ddot{Y} = \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) $$ 再求三阶导： $$ y''' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) \right) = -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y}) $$ 而 $$ \frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y}) = \frac{d}{dt}(\ddot{Y} - \dot{Y}) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} (\dddot{Y} - \ddot{Y}) $$ 所以 $$ y''' = -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - \ddot{Y}) = \frac{1}{x^{3}} \left( \dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} \right) $$

代入原方程： $$ x^{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y}) + 3x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) - 2x \cdot \frac{1}{x} \dot{Y} + 2Y = 0 $$ 化简得： $$ \dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} + 3\ddot{Y} - 3\dot{Y} - 2\dot{Y} + 2Y = 0 $$ 即 $$ \dddot{Y} + ( -3 + 3 )\ddot{Y} + (2 - 3 - 2)\dot{Y} + 2Y = 0 $$ $$ \dddot{Y} - 3\dot{Y} + 2Y = 0 $$

这是常系数三阶线性齐次方程，特征方程为 $$ r^{3} - 3r + 2 = 0 $$ 试根 $ r = 1 $： $$ 1 - 3 + 2 = 0 $$ 所以 $ (r-1) $ 是因子，做多项式除法： $$ r^{3} - 3r + 2 = (r-1)(r^{2} + r - 2) = (r-1)(r-1)(r+2) = (r-1)^{2}(r+2) $$ 特征根为 $ r = 1 $（二重根），$ r = -2 $。

因此通解为 $$ Y(t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{t} + C_{3} e^{-2t} $$ 代回 $ t = \ln x $，得 $$ y(x) = (C_{1} + C_{2} \ln x) x + C_{3} x^{-2} $$

最终答案： $$ \boxed{y = C_{1} x + C_{2} x \ln x + \frac{C_{3}}{x^{2}}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：识别方程类型
观察方程 $x^{3} y''' + 3x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 0$，各项系数为 $x$ 的幂次与导数阶数相同，符合欧拉方程形式。
提示：欧拉方程的标准形式：$a_n x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = 0$。
步骤 2/7
目标：变量代换
令 $x = e^t$，即 $t = \ln x$，并设 $y(x) = Y(t)$。
公式：$x = e^t$
提示：代换后方程化为常系数线性微分方程。
步骤 3/7
目标：求导变换
计算 $y'$, $y''$, $y'''$ 关于 $t$ 的表达式： $y' = \frac{1}{x} \dot{Y}$， $y'' = \frac{1}{x^2} (\ddot{Y} - \dot{Y})$， $y''' = \frac{1}{x^3} (\dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y})$。
公式：$\frac{d}{dx} = \frac{1}{x} \frac{d}{dt}$
提示：注意链式法则，逐阶求导。
步骤 4/7
目标：代入原方程
将 $y$, $y'$, $y''$, $y'''$ 代入原方程，消去 $x$ 的幂次，得到关于 $Y(t)$ 的方程： $\dddot{Y} - 3\dot{Y} + 2Y = 0$。
提示：代入后 $x$ 的幂次恰好抵消，得到常系数方程。
步骤 5/7
目标：求解常系数方程
写出特征方程 $r^3 - 3r + 2 = 0$，因式分解得 $(r-1)^2(r+2)=0$，特征根 $r=1$（二重根），$r=-2$。
公式：$r^3 - 3r + 2 = (r-1)^2(r+2)$
提示：试根法：$r=1$ 是根，然后用多项式除法。
步骤 6/7
目标：写出通解
对应特征根，$Y(t) = (C_1 + C_2 t) e^t + C_3 e^{-2t}$。
提示：二重根对应 $(C_1 + C_2 t)e^{rt}$。
步骤 7/7
目标：回代变量
将 $t = \ln x$ 代回，得 $y(x) = (C_1 + C_2 \ln x) x + C_3 x^{-2}$。
提示：注意 $e^t = x$，$e^{-2t} = x^{-2}$。

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