同济高数 第7章 第7-9-8题
📝 题目
8．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=x^{2} \ln x+3 x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解欧拉型非齐次线性微分方程： $$ x^{3} y^{\prime \prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=x^{2} \ln x+3 x $$
**第一步：化为常系数方程** 令 $x = e^t$，则 $t = \ln x$，且记 $y(x) = y(e^t) = Y(t)$。 此时： $$ x y' = \frac{dY}{dt}, \quad x^2 y'' = \frac{d^2Y}{dt^2} - \frac{dY}{dt}, \quad x^3 y''' = \frac{d^3Y}{dt^3} - 3\frac{d^2Y}{dt^2} + 2\frac{dY}{dt} $$
代入原方程： $$ \left( \frac{d^3Y}{dt^3} - 3\frac{d^2Y}{dt^2} + 2\frac{dY}{dt} \right) + 2\left( \frac{dY}{dt} \right) - 2Y = e^{2t} t + 3 e^{t} $$ 化简得： $$ \frac{d^3Y}{dt^3} - 3\frac{d^2Y}{dt^2} + 4\frac{dY}{dt} - 2Y = t e^{2t} + 3 e^{t} $$
**第二步：解齐次方程** 齐次方程： $$ Y''' - 3Y'' + 4Y' - 2Y = 0 $$ 特征方程： $$ r^3 - 3r^2 + 4r - 2 = 0 $$ 试根 $r=1$： $$ 1 - 3 + 4 - 2 = 0 $$ 分解得： $$ (r-1)(r^2 - 2r + 2) = 0 $$ 解得： $$ r_1 = 1, \quad r_{2,3} = 1 \pm i $$ 因此齐次通解： $$ Y_h(t) = C_1 e^{t} + e^{t}(C_2 \cos t + C_3 \sin t) $$ 即： $$ y_h(x) = C_1 x + x (C_2 \cos(\ln x) + C_3 \sin(\ln x)) $$
**第三步：求特解（参数变易法或待定系数法）** 右端项为 $t e^{2t} + 3 e^{t}$。
对于 $3 e^{t}$，由于 $e^{t}$ 已是齐次解，设特解形式为 $A t e^{t}$。 对于 $t e^{2t}$，$e^{2t}$ 不是齐次解，设特解形式为 $(Bt + C) e^{2t}$。
设： $$ Y_p(t) = A t e^{t} + (Bt + C) e^{2t} $$
计算导数： $$ Y_p' = A e^{t} + A t e^{t} + B e^{2t} + 2(Bt + C) e^{2t} $$ $$ Y_p'' = 2A e^{t} + A t e^{t} + 2B e^{2t} + 4B e^{2t} + 4(Bt + C) e^{2t} $$ $$ Y_p''' = 3A e^{t} + A t e^{t} + \dots $$ （为节省篇幅，直接代入方程比较系数）
代入方程： $$ Y_p''' - 3Y_p'' + 4Y_p' - 2Y_p = t e^{2t} + 3 e^{t} $$
先整理 $e^{t}$ 部分系数： 从 $A t e^{t}$ 项代入得： - $Y_p'''$ 中 $A t e^{t}$ 系数为 $A$，但还有来自 $A e^{t}$ 的项，实际计算： 代入后 $e^{t}$ 系数（不含t部分）为： $$ (3A - 3\cdot 2A + 4A - 2\cdot 0)?? $$ 我们系统计算：
令 $Y_1 = A t e^{t}$： $$ Y_1' = A e^{t} + A t e^{t},\quad Y_1'' = 2A e^{t} + A t e^{t},\quad Y_1''' = 3A e^{t} + A t e^{t} $$ 代入左边： $$ (3A e^{t} + A t e^{t}) - 3(2A e^{t} + A t e^{t}) + 4(A e^{t} + A t e^{t}) - 2(A t e^{t}) $$ 合并 $e^{t}$ 系数（不含t）：$3A - 6A + 4A = A$ 合并 $t e^{t}$ 系数：$A - 3A + 4A - 2A = 0$ 所以 $Y_1$ 贡献 $A e^{t}$。
令 $Y_2 = (Bt + C) e^{2t}$： $$ Y_2' = B e^{2t} + 2(Bt + C) e^{2t} = (2Bt + B + 2C) e^{2t} $$ $$ Y_2'' = (4Bt + 2B + 4C + 2B) e^{2t} = (4Bt + 4B + 4C) e^{2t} $$ $$ Y_2''' = (8Bt + 8B + 8C + 4B) e^{2t} = (8Bt + 12B + 8C) e^{2t} $$ 代入左边： $$ (8Bt + 12B + 8C) - 3(4Bt + 4B + 4C) + 4(2Bt + B + 2C) - 2(Bt + C) $$ 合并 $t e^{2t}$ 系数：$8B - 12B + 8B - 2B = 2B$ 合并常数项（$e^{2t}$系数）：$12B + 8C - 12B - 12C + 4B + 8C - 2C = (12B-12B+4B) + (8C-12C+8C-2C) = 4B + 2C$
于是左边总结果为： $$ A e^{t} + (2B t + (4B + 2C)) e^{2t} $$ 应等于： $$ 3 e^{t} + t e^{2t} $$
比较系数： - $e^{t}$：$A = 3$ - $t e^{2t}$：$2B = 1 \Rightarrow B = \frac12$ - $e^{2t}$：$4B + 2C = 0 \Rightarrow 2 + 2C = 0 \Rightarrow C = -1$
因此特解： $$ Y_p(t) = 3t e^{t} + \left( \frac12 t - 1 \right) e^{2t} $$
**第四步：回代 $x$** 由 $t = \ln x$，$e^{t}=x$，$e^{2t}=x^2$，得： $$ y_p(x) = 3x \ln x + \left( \frac12 \ln x - 1 \right) x^2 $$
**第五步：写出通解** $$ y(x) = C_1 x + x(C_2 \cos(\ln x) + C_3 \sin(\ln x)) + 3x \ln x + \frac12 x^2 \ln x - x^2 $$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。
难度：★★★★☆ （涉及三阶欧拉方程化常系数、复数根齐次解、待定系数法求特解，计算量较大）