同济高数 第10章 第10-1-5题
📝 题目
5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x$ 轴、 $y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由圆周 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 所围成； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是三角形闭区域，三顶点分别为 $(1,0),(1,1),(2,0)$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 3 \leqslant x \leqslant 5,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下根据二重积分的性质，逐题比较积分大小。主要利用：若在区域 $D$ 上恒有 $f(x,y) \le g(x,y)$，则 $\iint_D f \, d\sigma \le \iint_D g \, d\sigma$，且当 $f < g$ 且区域有内点时，严格不等。
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### （1） 区域 $D$：由 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的三角形。 在 $D$ 上，$0 \le x+y \le 1$。 当 $0 \le t \le 1$ 时，有 $t^2 \ge t^3$，等号仅当 $t=0$ 或 $t=1$（边界）。 因此在 $D$ 内部有 $(x+y)^2 > (x+y)^3$，故 $$ \iint_D (x+y)^2 \, d\sigma > \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma. $$
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### （2） 区域 $D$：圆心 $(2,1)$，半径 $\sqrt{2}$ 的圆盘。 在此圆盘上，$x+y$ 的取值范围： 圆心处 $x+y=3$，半径方向最大最小：沿方向 $(1,1)$ 变化，距离圆心 $\sqrt{2}$，则 $$ x+y = 3 \pm \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3 \pm 2, $$ 所以 $1 \le x+y \le 5$。 当 $t \ge 1$ 时，有 $t^2 \le t^3$，等号仅当 $t=0$ 或 $t=1$，但这里最小值是1，在边界某点取到，内部均大于1，故在 $D$ 内部有 $(x+y)^2 < (x+y)^3$，因此 $$ \iint_D (x+y)^2 \, d\sigma < \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma. $$
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### （3） 区域 $D$：顶点 $(1,0), (1,1), (2,0)$ 的三角形。 在此三角形上，$x+y$ 的范围：最小值在 $(1,0)$ 处为1，最大值在 $(2,0)$ 或 $(1,1)$ 处为2，故 $$ 1 \le x+y \le 2. $$ 考虑函数 $\ln t$ 与 $(\ln t)^2$：当 $1 \le t \le 2$ 时，$\ln t \in [0, \ln 2]$，且 $\ln 2 \approx 0.693<1$，故 $$ 0 \le \ln t \le \ln 2 < 1 \quad \Rightarrow \quad \ln t > (\ln t)^2. $$ 等号仅当 $\ln t = 0$ 或 $1$，但这里最大值小于1，故内部严格大于。因此 $$ \iint_D \ln(x+y) \, d\sigma > \iint_D [\ln(x+y)]^2 \, d\sigma. $$
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### （4） 区域 $D$：矩形 $3 \le x \le 5,\ 0 \le y \le 1$。 在此区域上，$x+y$ 的范围：最小 $3+0=3$，最大 $5+1=6$，故 $$ 3 \le x+y \le 6. $$ 此时 $\ln(x+y) \ge \ln 3 > 1$（因为 $\ln 3 \approx 1.0986$），于是 $$ \ln(x+y) > 1 \quad \Rightarrow \quad \ln(x+y) < [\ln(x+y)]^2. $$ 因此 $$ \iint_D \ln(x+y) \, d\sigma < \iint_D [\ln(x+y)]^2 \, d\sigma. $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ （仅需比较被积函数在区域上的大小，直接应用积分保序性，无需计算积分值。）