同济高数 第10章 第10-3-4题
📝 题目
4．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1$ 和 $z=0$ 所围成的闭区域．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们计算三重积分 $$ \iiint_{\Omega} x y^{2} z^{3} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z $$ 其中区域 $\Omega$ 由曲面 $z = xy$ 与平面 $y = x$、$x = 1$ 和 $z = 0$ 围成。
**第一步：确定积分区域** - 在 $xy$ 平面投影：由 $z = xy$ 和 $z = 0$ 可知，在 $z=0$ 时 $xy = 0$，即 $x=0$ 或 $y=0$，但结合 $y=x$ 及 $x=1$，我们得到投影区域由 $y = x$、$x=1$ 以及 $y=0$ 围成。 - 因此 $x$ 从 $0$ 到 $1$，对于固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $x$。 - 对于固定的 $(x,y)$，$z$ 从 $0$ 到 $xy$。
**第二步：化为累次积分** $$ \iiint_{\Omega} x y^{2} z^{3} \, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} \int_{z=0}^{xy} x y^{2} z^{3} \, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
**第三步：先对 $z$ 积分** $$ \int_{0}^{xy} z^{3} \, \mathrm{d}z = \left[ \frac{z^{4}}{4} \right]_{0}^{xy} = \frac{(xy)^{4}}{4} = \frac{x^{4} y^{4}}{4} $$ 于是被积函数变为 $$ x y^{2} \cdot \frac{x^{4} y^{4}}{4} = \frac{x^{5} y^{6}}{4} $$
**第四步：对 $y$ 积分** $$ \int_{y=0}^{x} \frac{x^{5} y^{6}}{4} \, \mathrm{d}y = \frac{x^{5}}{4} \int_{0}^{x} y^{6} \, \mathrm{d}y = \frac{x^{5}}{4} \cdot \frac{x^{7}}{7} = \frac{x^{12}}{28} $$
**第五步：对 $x$ 积分** $$ \int_{0}^{1} \frac{x^{12}}{28} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{28} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{364} $$
因此，所求三重积分的值为 $$ \boxed{\dfrac{1}{364}} $$
难度：★★☆☆☆