同济高数 第10章 第10-3-5题

教材习题

📝 题目

5．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的四面体．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们计算三重积分 $$ \iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}}, $$ 其中 $\Omega$ 是由 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 围成的四面体。

**第一步：确定积分区域** 四面体区域可以表示为 $$ \Omega: \quad 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1-x,\quad 0 \le z \le 1-x-y. $$

**第二步：化为累次积分** $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^3} \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x. $$

**第三步：先对 $z$ 积分** 令 $u = 1+x+y+z$，则当 $z=0$ 时 $u=1+x+y$，当 $z=1-x-y$ 时 $u=2$，且 $\mathrm{d}z = \mathrm{d}u$。于是 $$ \int_{z=0}^{1-x-y} \frac{\mathrm{d}z}{(1+x+y+z)^3} = \int_{u=1+x+y}^{2} u^{-3} \, \mathrm{d}u = \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1+x+y}^{2} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4} \right). $$

**第四步：对 $y$ 积分** 现在 $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4} \right) \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x. $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{(1+x+y)^2} \, \mathrm{d}y = \left[ -\frac{1}{1+x+y} \right]_{y=0}^{1-x} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x}. $$ 而 $$ \int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{4} \, \mathrm{d}y = \frac{1-x}{4}. $$ 因此内层结果为 $$ \frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x} \right) - \frac{1-x}{4} \right] = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x} - \frac{1}{4} + \frac{x}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} + \frac{1}{1+x} + \frac{x}{4} \right). $$

**第五步：对 $x$ 积分** $$ I = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} + \frac{1}{1+x} + \frac{x}{4} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{4}x + \ln(1+x) + \frac{x^2}{8} \right]_{0}^{1}. $$ 代入上下限： 当 $x=1$： $$ -\frac{3}{4} + \ln 2 + \frac{1}{8} = -\frac{6}{8} + \frac{1}{8} + \ln 2 = -\frac{5}{8} + \ln 2. $$ 当 $x=0$： $$ 0 + \ln 1 + 0 = 0. $$ 所以 $$ I = \frac{1}{2} \left( -\frac{5}{8} + \ln 2 \right) = -\frac{5}{16} + \frac{1}{2}\ln 2. $$

**最终结果** $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{5}{16}}. $$

难度评级：★★☆☆☆ （计算过程直接，只需一次换元和基本积分技巧，但步骤较多，需仔细。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定积分区域
四面体区域由平面 x=0, y=0, z=0, x+y+z=1 围成，可表示为 0≤x≤1, 0≤y≤1-x, 0≤z≤1-x-y。
提示：注意积分限的确定，先对z积分，再对y，最后对x。
步骤 2/5
目标：化为累次积分
将三重积分化为累次积分：I = ∫_{x=0}^{1} ∫_{y=0}^{1-x} ∫_{z=0}^{1-x-y} 1/(1+x+y+z)^3 dz dy dx。
公式：I = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1-x} dy ∫_{0}^{1-x-y} (1+x+y+z)^{-3} dz
步骤 3/5
目标：对z积分
令 u=1+x+y+z，则 dz=du，当 z=0 时 u=1+x+y，当 z=1-x-y 时 u=2。积分得 ∫_{u=1+x+y}^{2} u^{-3} du = [u^{-2}/(-2)]_{1+x+y}^{2} = 1/2 (1/(1+x+y)^2 - 1/4)。
公式：∫_{0}^{1-x-y} (1+x+y+z)^{-3} dz = 1/2 (1/(1+x+y)^2 - 1/4)
提示：注意换元后积分限的变化。
步骤 4/5
目标：对y积分
此时 I = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1-x} 1/2 (1/(1+x+y)^2 - 1/4) dy。先计算 ∫_{0}^{1-x} 1/(1+x+y)^2 dy = [-1/(1+x+y)]_{0}^{1-x} = -1/2 + 1/(1+x)；再计算 ∫_{0}^{1-x} 1/4 dy = (1-x)/4。所以内层结果为 1/2 [(-1/2+1/(1+x)) - (1-x)/4] = 1/2 (-3/4 + 1/(1+x) + x/4)。
公式：∫_{0}^{1-x} 1/(1+x+y)^2 dy = -1/2 + 1/(1+x)
提示：注意符号和合并同类项。
步骤 5/5
目标：对x积分
I = ∫_{0}^{1} 1/2 (-3/4 + 1/(1+x) + x/4) dx = 1/2 [ -3x/4 + ln(1+x) + x^2/8 ]_{0}^{1} = 1/2 ( -3/4 + ln2 + 1/8 ) = 1/2 ( -5/8 + ln2 ) = -5/16 + (1/2) ln2。
公式：∫ 1/(1+x) dx = ln(1+x)
提示：代入上下限时注意 ln1=0。

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