同济高数 第10章 第10-3-6题

教材习题

📝 题目

6．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及三个坐标面所围成的在第 I 卦限内的闭区域。

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求解三重积分： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z $$ 其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与三个坐标平面 $x=0, y=0, z=0$ 所围成的第一卦限部分。

由于积分区域是球体的第一卦限部分，采用球坐标变换较为方便。令： $$ x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta $$ 其中： $$ 0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2} $$ 雅可比行列式为 $r^2\sin\theta$，因此体积元： $$ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$

被积函数： $$ x y z = (r\sin\theta\cos\varphi)(r\sin\theta\sin\varphi)(r\cos\theta) = r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi $$

于是积分化为： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \cdot r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$

合并 $r$ 的幂次： $$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^5 \sin^3\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$

由于变量分离，可分解为三个单积分相乘： $$ = \left( \int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r \right) \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta \right) \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi \right) $$

分别计算： 1. $$ \int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} $$

2. 令 $u = \sin\theta$，则 $\mathrm{d}u = \cos\theta \, \mathrm{d}\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=0$，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=1$， $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{1} u^3 \, \mathrm{d}u = \frac{1}{4} $$

3. 令 $t = \sin\varphi$，则 $\mathrm{d}t = \cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $t=0$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=1$， $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} $$

因此： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{48} $$

最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{1}{48}} $$

难度：★★☆☆☆ （属于常规球坐标变换计算三重积分，步骤清晰，计算量较小，但需熟悉变量代换与积分分解技巧。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/8
目标：确定积分区域并选择坐标系
积分区域Ω是球面x²+y²+z²=1与三个坐标平面x=0, y=0, z=0所围成的第一卦限部分。由于是球体的一部分，采用球坐标变换：x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ，其中r∈[0,1], θ∈[0,π/2], φ∈[0,π/2]。
公式：x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ
提示：注意第一卦限对应θ和φ的范围均为0到π/2。
步骤 2/8
目标：写出体积元
球坐标下的体积元为 dxdydz = r² sinθ dr dθ dφ。
公式：dxdydz = r² sinθ dr dθ dφ
提示：雅可比行列式为r² sinθ。
步骤 3/8
目标：将被积函数用球坐标表示
被积函数 xyz = (r sinθ cosφ)(r sinθ sinφ)(r cosθ) = r³ sin²θ cosθ sinφ cosφ。
公式：xyz = r³ sin²θ cosθ sinφ cosφ
提示：注意三角函数的乘积。
步骤 4/8
目标：写出三重积分并分离变量
积分化为 ∫₀^{π/2}∫₀^{π/2}∫₀¹ r³ sin²θ cosθ sinφ cosφ · r² sinθ dr dθ dφ = ∫₀¹ r⁵ dr · ∫₀^{π/2} sin³θ cosθ dθ · ∫₀^{π/2} sinφ cosφ dφ。
公式：∭ xyz dxdydz = ∫₀¹ r⁵ dr · ∫₀^{π/2} sin³θ cosθ dθ · ∫₀^{π/2} sinφ cosφ dφ
提示：由于被积函数可分离，积分分解为三个单积分乘积。
步骤 5/8
目标：计算第一个积分
∫₀¹ r⁵ dr = [r⁶/6]₀¹ = 1/6。
公式：∫₀¹ r⁵ dr = 1/6
提示：直接使用幂函数积分公式。
步骤 6/8
目标：计算第二个积分
令 u = sinθ，则 du = cosθ dθ，当θ=0时u=0，θ=π/2时u=1，积分化为 ∫₀¹ u³ du = 1/4。
公式：∫₀^{π/2} sin³θ cosθ dθ = 1/4
提示：使用换元法简化。
步骤 7/8
目标：计算第三个积分
令 t = sinφ，则 dt = cosφ dφ，当φ=0时t=0，φ=π/2时t=1，积分化为 ∫₀¹ t dt = 1/2。
公式：∫₀^{π/2} sinφ cosφ dφ = 1/2
提示：同样使用换元法。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
三个积分相乘：1/6 × 1/4 × 1/2 = 1/48。
公式：∭ xyz dxdydz = 1/48
提示：注意检查计算。

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