同济高数 第11章 第11-2-2题
📝 题目
2．设 $L$ 为 $x O y$ 面内 $x$ 轴上从点 $(a, 0)$ 到点 $(b, 0)$ 的一段直线，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} P(x, 0) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们设曲线 $L$ 是 $xOy$ 平面内 $x$ 轴上从点 $(a,0)$ 到点 $(b,0)$ 的一段直线。 在直线 $L$ 上，$y = 0$，且 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 变化。 对于第一类曲线积分（对坐标的曲线积分），其参数化可写为：
令 $$ x = t,\quad y = 0,\quad t \in [a,b] $$ 则 $$ \mathrm{d}x = \mathrm{d}t $$
于是 $$ \int_{L} P(x,y)\,\mathrm{d}x = \int_{t=a}^{b} P(t,0)\,\mathrm{d}t = \int_{a}^{b} P(x,0)\,\mathrm{d}x $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确曲线L的参数方程
由于L是x轴上从(a,0)到(b,0)的直线段，因此y=0，x从a到b变化。令x=t，y=0，t∈[a,b]作为参数。
提示：参数化时注意变量范围与积分方向一致。
步骤 2/4
目标：计算微分dx
由参数方程x=t，得dx=dt。
公式：dx = dt
步骤 3/4
目标：代入曲线积分表达式
将参数化代入∫_L P(x,y)dx，得到∫_{t=a}^{b} P(t,0) dt。
公式：∫_L P(x,y)dx = ∫_a^b P(t,0) dt
提示：注意积分限从a到b对应t的变化。
步骤 4/4
目标：改写积分变量
将积分变量t换为x，得到∫_a^b P(x,0) dx，即证。
提示：积分变量名称不影响结果。
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