同济高数 第11章 第11-5-1题
📝 题目
1．按对坐标的曲面积分的定义证明公式
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left[P_{1}(x, y, z) \pm P_{2}(x, y, z)\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{1}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z \pm \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{2}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z $$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们按对坐标的曲面积分的定义来证明该线性性质。
**证明**： 设曲面 $\Sigma$ 是分片光滑的有向曲面，其参数表示为 $$ \mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v) \in D $$ 其中 $D$ 为参数平面上的有界闭区域，且方向由法向量确定。
对坐标的曲面积分定义为 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} R(x,y,z) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \displaystyle{\iint}_{D} R(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \, \mathrm{d}u\mathrm{d}v $$ 其中 $\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}$ 是雅可比行列式。
现在考虑被积函数为 $P_1(x,y,z) \pm P_2(x,y,z)$ 的情形： $$ \begin{aligned} \displaystyle{\iint}_{\Sigma} [P_1 \pm P_2] \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \displaystyle{\iint}_{D} [P_1(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \pm P_2(x(u,v),y(u,v),z(u,v))] \cdot \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \, \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ &= \displaystyle{\iint}_{D} P_1(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \cdot \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \, \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ &\quad \pm \displaystyle{\iint}_{D} P_2(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \cdot \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \, \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ &= \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_1(x,y,z) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z \pm \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_2(x,y,z) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z. \end{aligned} $$
这里第二步利用了二重积分的线性性质，第三步回到曲面积分定义。因此，对坐标的曲面积分关于被积函数具有线性性，证毕。
**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基本定义与性质验证，只需理解曲面积分定义和二重积分的线性即可完成）