同济高数 第12章 第12-4-3题
📝 题目
3．将下列函数展开成 $(x-1)$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）$\sqrt{x^{3}}$ ； （2） $\lg x$ ； （3）$x e^{x}$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分别将三个函数展开成 $(x-1)$ 的幂级数，并确定收敛区间。
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### （1）$\sqrt{x^{3}} = x^{3/2}$
令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$，于是 $$ x^{3/2} = (1+t)^{3/2}. $$ 利用二项式展开公式 $$ (1+t)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} t^n,\quad |t|<1, $$ 其中 $\alpha = \frac{3}{2}$， $$ \binom{\frac{3}{2}}{n} = \frac{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\cdots\left(\frac{3}{2}-n+1\right)}{n!}. $$ 所以 $$ \sqrt{x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\frac{3}{2}}{n} (x-1)^n, $$ 收敛区间由 $|x-1|<1$ 得 $0 --- ### （2）$\lg x$ （通常指以10为底的对数，但数学分析中常用自然对数，这里按自然对数处理，若为常用对数则乘常数 $\frac{1}{\ln 10}$） 先考虑 $\ln x$： 令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$， $$ \ln x = \ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n,\quad |t|<1. $$ 因此 $$ \ln x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n, $$ 收敛区间为 $|x-1|<1$，即 $0 若题目中 $\lg x$ 是以10为底，则 $$ \lg x = \frac{\ln x}{\ln 10} = \frac{1}{\ln 10} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n, $$ 收敛域相同。 --- ### （3）$x e^{x}$ 令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$， $$ x e^{x} = (1+t) e^{1+t} = e \cdot (1+t) e^{t}. $$ 而 $$ e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}, $$ 所以 $$ (1+t)e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} \right) t^n. $$ 化简系数： $$ \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1 + n}{n!} = \frac{n+1}{n!}. $$ 因此 $$ x e^{x} = e \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} (x-1)^n \right]. $$ 由于指数级数对一切实数收敛，所以收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。 --- **最终答案** （1）$\displaystyle{\sqrt{x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\frac{3}{2}}{n} (x-1)^n,\quad 0 难度：★★☆☆☆