同济高数 第8章 第8-1-10题
📝 题目
10．过点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作平行于 $z$ 轴的直线和平行于 $x O y$ 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分两部分来回答。
**1. 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于 $z$ 轴的直线** 平行于 $z$ 轴，意味着方向向量为 $(0,0,1)$，因此直线上任意点的坐标可表示为： $$ (x_0,\; y_0,\; z_0 + t), \quad t \in \mathbb{R}. $$ 所以，在这条直线上的点的坐标特点是： $$ x = x_0,\quad y = y_0,\quad z \text{ 任意}. $$ 即横坐标和纵坐标固定为 $P_0$ 的横纵坐标，只有竖坐标可以变化。
**2. 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于 $xOy$ 面的平面** 平行于 $xOy$ 面，意味着法向量为 $(0,0,1)$，因此平面方程为： $$ z = z_0. $$ 所以在这个平面上的点的坐标特点是： $$ z = z_0,\quad x,\; y \text{ 任意}. $$ 即竖坐标固定为 $P_0$ 的竖坐标，而横坐标和纵坐标可以任意取值。
**总结：** - 平行于 $z$ 轴的直线：$x = x_0,\; y = y_0$，$z$ 自由。 - 平行于 $xOy$ 面的平面：$z = z_0$，$x, y$ 自由。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析过点P0且平行于z轴的直线上的点坐标特点
平行于z轴的直线方向向量为(0,0,1)，因此直线上任意点坐标可表示为(x0, y0, z0+t)，t∈R。所以坐标特点是x=x0，y=y0，z任意。
公式：(x, y, z) = (x0, y0, z0 + t)
提示：注意方向向量与坐标轴的关系。
步骤 2/2
目标：分析过点P0且平行于xOy面的平面上的点坐标特点
平行于xOy面的平面法向量为(0,0,1)，因此平面方程为z=z0。所以坐标特点是z=z0，x和y任意。
公式：z = z0
提示：平面平行于xOy面意味着法向量垂直于该平面。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。