同济高数 第8章 第8-1-11题
📝 题目
11．一棱长为 $a$ 的立方体放置在 $x O y$ 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 $x$ 轴和 $y$轴上，求它各顶点的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 该立方体放置在 $xOy$ 面上，底面中心在原点，且底面顶点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上。 底面是正方形，边长为 $a$，中心在原点，且顶点在坐标轴上，说明正方形的边与坐标轴成 $45^\circ$ 角，即顶点在坐标轴上。
设底面四个顶点坐标分别为： 在 $x$ 轴正半轴上的顶点：$\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, 0\right)$ 在 $y$ 轴正半轴上的顶点：$\displaystyle \left(0, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 在 $x$ 轴负半轴上的顶点：$\displaystyle \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, 0\right)$ 在 $y$ 轴负半轴上的顶点：$\displaystyle \left(0, -\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$
因为立方体高为 $a$，所以顶面四个顶点只需将 $z$ 坐标改为 $a$： 顶面顶点为： $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, a\right)$，$\displaystyle \left(0, \frac{a}{\sqrt{2}}, a\right)$，$\displaystyle \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, a\right)$，$\displaystyle \left(0, -\frac{a}{\sqrt{2}}, a\right)$
因此，全部八个顶点坐标为：
底面： $$ \left(\frac{a}{\sqrt{2}},0,0\right),\quad \left(0,\frac{a}{\sqrt{2}},0\right),\quad \left(-\frac{a}{\sqrt{2}},0,0\right),\quad \left(0,-\frac{a}{\sqrt{2}},0\right) $$
顶面： $$ \left(\frac{a}{\sqrt{2}},0,a\right),\quad \left(0,\frac{a}{\sqrt{2}},a\right),\quad \left(-\frac{a}{\sqrt{2}},0,a\right),\quad \left(0,-\frac{a}{\sqrt{2}},a\right) $$
难度：★☆☆☆☆