同济高数 第8章 第8-1-16题
📝 题目
16．设向量的方向余弦分别满足（1） $\cos \alpha=0$ ；（2） $\cos \beta=1$ ；（3） $\cos \alpha=\cos \beta=0$ ，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：设向量的方向余弦分别满足 （1）$\cos \alpha=0$；（2）$\cos \beta=1$；（3）$\cos \alpha=\cos \beta=0$， 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
**解答**：
方向余弦 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 满足基本关系： $$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $$ 其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是向量与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正向的夹角。
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**(1)** 若 $\cos \alpha = 0$，即向量与 $x$ 轴夹角 $\alpha = 90^\circ$。 此时向量垂直于 $x$ 轴，因此该向量平行于 $yOz$ 平面（即坐标面 $x=0$ 所在的平面）。 结论：向量位于与 $x$ 轴垂直的平面内，即平行于 $yOz$ 坐标面。
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**(2)** 若 $\cos \beta = 1$，则 $\beta = 0^\circ$，即向量与 $y$ 轴正向重合。 由方向余弦关系： $$ \cos^2 \alpha + 1 + \cos^2 \gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 0 $$ 因此 $\cos \alpha = 0$，$\cos \gamma = 0$，即向量与 $x$ 轴、$z$ 轴均垂直。 结论：该向量与 $y$ 轴同向，垂直于 $x$ 轴和 $z$ 轴。
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**(3)** 若 $\cos \alpha = \cos \beta = 0$，则 $$ 0 + 0 + \cos^2 \gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos \gamma = \pm 1 $$ 即 $\gamma = 0^\circ$ 或 $180^\circ$，向量与 $z$ 轴平行（同向或反向）。 同时由于 $\cos \alpha = 0$，$\cos \beta = 0$，说明向量垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴。 结论：该向量平行于 $z$ 轴（即垂直于 $xOy$ 坐标面）。
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**最终答案**： (1) 向量垂直于 $x$ 轴，平行于 $yOz$ 坐标面； (2) 向量与 $y$ 轴同向； (3) 向量平行于 $z$ 轴，垂直于 $xOy$ 坐标面。
**难度评级**：★☆☆☆☆