同济高数 第8章 第8-1-17题
📝 题目
17．设向量 $r$ 的模是 4 ，它与 $u$ 轴的夹角是 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ，求 $r$ 在 $u$ 轴上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 向量 $\boldsymbol{r}$ 在 $u$ 轴上的投影公式为 $$ \text{Prj}_{u} \boldsymbol{r} = |\boldsymbol{r}| \cos\theta, $$ 其中 $|\boldsymbol{r}| = 4$，夹角 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$。
代入得 $$ \text{Prj}_{u} \boldsymbol{r} = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{3} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2. $$
因此，向量 $\boldsymbol{r}$ 在 $u$ 轴上的投影为 $2$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出投影公式
向量 r 在 u 轴上的投影公式为 Prj_u r = |r| cosθ，其中 |r| 是向量的模，θ 是向量与 u 轴的夹角。
公式：Prj_u r = |r| cosθ
提示：注意投影是标量，有正负之分，取决于夹角是否为锐角。
步骤 2/3
目标：代入已知数值
已知 |r| = 4，θ = π/3，代入公式得 Prj_u r = 4 × cos(π/3)。
提示：cos(π/3) = 1/2，是常见特殊角三角函数值。
步骤 3/3
目标：计算结果
计算 4 × 1/2 = 2，所以投影为 2。
提示：结果为正，说明向量与轴同向。
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