同济高数 第8章 第8-1-18题
📝 题目
18．一向量的终点在点 $B(2,-1,7)$ ，它在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上的投影依次为 $4,-4$ 和 7 ．求这向量的起点 $A$ 的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设起点 $A$ 的坐标为 $(x_0, y_0, z_0)$，终点为 $B(2, -1, 7)$。 则向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为 $$ \overrightarrow{AB} = (2 - x_0,\ -1 - y_0,\ 7 - z_0). $$ 向量在坐标轴上的投影就是它的对应坐标分量，因此有 $$ \begin{cases} 2 - x_0 = 4,\$$2pt] -1 - y_0 = -4,\$$2pt] 7 - z_0 = 7. \end{cases} $$ 分别解这三个方程： 由第一式得 $$ x_0 = 2 - 4 = -2. $$ 由第二式得 $$ y_0 = -1 + 4 = 3. $$ 由第三式得 $$ z_0 = 7 - 7 = 0. $$ 因此起点 $A$ 的坐标为 $$ \boxed{(-2,\ 3,\ 0)}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设起点坐标
设起点 A 的坐标为 (x0, y0, z0)，终点 B 已知为 (2, -1, 7)。
步骤 2/7
目标：写出向量坐标
向量 AB 的坐标为 (2 - x0, -1 - y0, 7 - z0)。
公式：AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
步骤 3/7
目标：利用投影条件列方程
向量在坐标轴上的投影等于对应坐标分量，因此有方程组：2 - x0 = 4, -1 - y0 = -4, 7 - z0 = 7。
提示：投影即坐标分量
步骤 4/7
目标：解方程求 x0
由 2 - x0 = 4 得 x0 = 2 - 4 = -2。
步骤 5/7
目标：解方程求 y0
由 -1 - y0 = -4 得 y0 = -1 + 4 = 3。
步骤 6/7
目标：解方程求 z0
由 7 - z0 = 7 得 z0 = 7 - 7 = 0。
步骤 7/7
目标：得出起点坐标
起点 A 的坐标为 (-2, 3, 0)。
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