同济高数 第8章 第8-1-5题
📝 题目
5．求平行于向量 $a=(6,7,-6)$ 的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要求平行于向量 $\boldsymbol{a} = (6, 7, -6)$ 的单位向量，首先计算该向量的模长：
$$ |\boldsymbol{a}| = \sqrt{6^2 + 7^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 49 + 36} = \sqrt{121} = 11. $$
平行于 $\boldsymbol{a}$ 的单位向量为：
$$ \boldsymbol{e} = \pm \frac{1}{|\boldsymbol{a}|} \boldsymbol{a} = \pm \frac{1}{11} (6, 7, -6). $$
因此，所求的单位向量为：
$$ \left( \frac{6}{11},\ \frac{7}{11},\ -\frac{6}{11} \right) \quad\text{或}\quad \left( -\frac{6}{11},\ -\frac{7}{11},\ \frac{6}{11} \right). $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算向量a的模长
计算向量a=(6,7,-6)的模长：|a| = sqrt(6^2+7^2+(-6)^2) = sqrt(36+49+36) = sqrt(121) = 11
公式：|a| = sqrt(x^2+y^2+z^2)
提示：注意平方和开方运算
步骤 2/2
目标：求单位向量
平行于a的单位向量为 e = ± (1/|a|) a = ± (1/11)(6,7,-6) = ± (6/11, 7/11, -6/11)
公式：e = ± a/|a|
提示：单位向量方向与原向量相同或相反，故有正负两个
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