同济高数 第8章 第8-2-2题
📝 题目
2．设 $a, b, c$ 为单位向量，且满足 $a+b+c=0$ ，求 $a \cdot b+b \cdot c+c \cdot a$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $a, b, c$ 都是单位向量，即满足 $$ |a| = |b| = |c| = 1 $$ 并且有 $$ a + b + c = 0 $$
对等式两边同时作自身的点积： $$ (a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 $$ 展开左边： $$ a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 由于是单位向量，有 $$ a \cdot a = |a|^2 = 1,\quad b \cdot b = 1,\quad c \cdot c = 1 $$ 代入得： $$ 1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 即 $$ 3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 移项： $$ 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3 $$ 所以 $$ a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2} $$
因此，所求结果为 $$ \boxed{-\dfrac{3}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件列出等式
已知 a, b, c 为单位向量，且 a + b + c = 0。
公式：|a| = |b| = |c| = 1
提示：单位向量的模长为1。
步骤 2/5
目标：对等式两边作自身的点积
将 a + b + c = 0 两边同时点乘自身，得 (a+b+c)·(a+b+c) = 0·0。
公式：(a+b+c)·(a+b+c) = 0
提示：零向量的点积为零。
步骤 3/5
目标：展开点积
展开左边：a·a + b·b + c·c + 2(a·b + b·c + c·a) = 0。
公式：a·a + b·b + c·c + 2(a·b + b·c + c·a) = 0
提示：注意交叉项系数为2。
步骤 4/5
目标：代入单位向量模长
由于 a·a = |a|^2 = 1，同理 b·b = 1，c·c = 1，代入得 1+1+1+2(a·b+b·c+c·a)=0。
公式：3 + 2(a·b + b·c + c·a) = 0
提示：单位向量的点积等于模长的平方。
步骤 5/5
目标：解出所求表达式
移项得 2(a·b+b·c+c·a) = -3，所以 a·b+b·c+c·a = -3/2。
公式：a·b + b·c + c·a = -3/2
提示：注意符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。