同济高数 第8章 第8-3-9题
📝 题目
9．求点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2 y+2 z-10=0$ 的距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知点 $P_0(1,2,1)$，平面方程为 $$ x + 2y + 2z - 10 = 0 $$ 平面法向量为 $\vec{n} = (1,2,2)$。
点到平面的距离公式为 $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ 代入 $A=1, B=2, C=2, D=-10$，以及 $x_0=1, y_0=2, z_0=1$，得 $$ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 4 + 2 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{| -3 |}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1 $$ 因此，点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2y+2z-10=0$ 的距离为 $1$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定点和平面的参数
已知点 P0(1,2,1)，平面方程 x+2y+2z-10=0，法向量 n=(1,2,2)。
提示：平面方程的一般形式为 Ax+By+Cz+D=0，其中法向量为 (A,B,C)。
步骤 2/5
目标：应用点到平面的距离公式
距离公式 d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)。代入 A=1, B=2, C=2, D=-10, x0=1, y0=2, z0=1。
公式：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)
提示：注意 D 的符号：平面方程移项后 D 为常数项，此处 D=-10。
步骤 3/5
目标：计算分子
计算 |1*1 + 2*2 + 2*1 - 10| = |1+4+2-10| = |-3| = 3。
提示：绝对值内计算时注意正负号。
步骤 4/5
目标：计算分母
计算 sqrt(1^2+2^2+2^2) = sqrt(1+4+4) = sqrt(9) = 3。
提示：法向量模长计算。
步骤 5/5
目标：得出距离
d = 3/3 = 1。
提示：最终结果化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。