同济高数 第8章 第8-3-8题
📝 题目
8．分别按下列条件求平面方程： （1）平行于 $z O x$ 面且经过点 $(2,-5,3)$ ； （2）通过 $z$ 轴和点 $(-3,1,-2)$ ； （3）平行于 $x$ 轴且经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）平行于 $zOx$ 面且经过点 $(2,-5,3)$**
$zOx$ 面即 $y=0$ 的平面，与之平行的平面法向量垂直于 $y$ 轴，即法向量可取为 $(0,1,0)$。 故平面方程为 $$ 0\cdot(x-2) + 1\cdot(y+5) + 0\cdot(z-3) = 0 $$ 即 $$ y = -5 $$
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**（2）通过 $z$ 轴和点 $(-3,1,-2)$**
通过 $z$ 轴的平面方程可设为 $$ Ax + By = 0 $$ 因为 $z$ 轴上的点 $(0,0,z)$ 都满足。 又经过点 $(-3,1,-2)$，代入得 $$ A(-3) + B(1) = 0 \quad\Rightarrow\quad -3A + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = 3A $$ 取 $A=1$，则 $B=3$，平面方程为 $$ x + 3y = 0 $$
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**（3）平行于 $x$ 轴且经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$**
平行于 $x$ 轴的平面方程中不含 $x$ 变量，可设为 $$ By + Cz + D = 0 $$ 代入两点： 点 $(4,0,-2)$：$B\cdot 0 + C(-2) + D = 0 \Rightarrow -2C + D = 0$ 点 $(5,1,7)$：$B\cdot 1 + C\cdot 7 + D = 0 \Rightarrow B + 7C + D = 0$
由第一式得 $D = 2C$，代入第二式： $$ B + 7C + 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad B + 9C = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -9C $$ 取 $C=1$，则 $B=-9$，$D=2$，平面方程为 $$ -9y + z + 2 = 0 $$ 或写成 $$ 9y - z = 2 $$