同济高数 第8章 第8-3-7题
📝 题目
7．求三平面 $x+3 y+z=1,2 x-y-z=0,-x+2 y+2 z=3$ 的交点．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解三个平面的交点，即解线性方程组：
$$ \begin{cases} x + 3y + z = 1, \\ 2x - y - z = 0, \\ -x + 2y + 2z = 3. \end{cases} $$
**步骤1：写成增广矩阵**
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right) $$
**步骤2：消元**
先消去第一列下方元素。用第1行乘$(-2)$加到第2行，第1行加到第3行：
第2行：$R_2 - 2R_1$ $2-2=0$, $-1-6=-7$, $-1-2=-3$, $0-2=-2$ 得到 $(0, -7, -3, -2)$
第3行：$R_3 + R_1$ $-1+1=0$, $2+3=5$, $2+1=3$, $3+1=4$ 得到 $(0, 5, 3, 4)$
矩阵变为：
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -7 & -3 & -2 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{array}\right) $$
**步骤3：继续消元**
消去第2列下方元素。将第2行乘以$\displaystyle \frac{5}{7}$加到第3行，或者更方便：将第2行乘以5，第3行乘以7再相加。
更简单做法：$R_3 \leftarrow 7R_3 + 5R_2$ $7\times 0 + 5\times 0 = 0$ $7\times 5 + 5\times(-7) = 35 - 35 = 0$ $7\times 3 + 5\times(-3) = 21 - 15 = 6$ $7\times 4 + 5\times(-2) = 28 - 10 = 18$
得到 $(0, 0, 6, 18)$
矩阵为：
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -7 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 18 \end{array}\right) $$
**步骤4：回代**
由第3行：$6z = 18 \Rightarrow z = 3$
代入第2行：$-7y - 3(3) = -2$ 即 $-7y - 9 = -2 \Rightarrow -7y = 7 \Rightarrow y = -1$
代入第1行：$x + 3(-1) + 3 = 1$ 即 $x - 3 + 3 = 1 \Rightarrow x = 1$
**步骤5：结论**
三平面交点为：
$$ \boxed{(1, -1, 3)} $$