同济高数 第8章 第8-3-6题

教材习题

📝 题目

6．设一平面过点 $M_{0}(1,2,-1)$ 且垂直于平面 $3 x-4 y+z+16=0$ 和 $4 x-z+6=0$ ，试求这平面方程．

💡 答案解析

[AI解答]

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**解题步骤：**

1. **分析题意** 所求平面过点 $M_0(1,2,-1)$，且垂直于两个已知平面： $$ \Pi_1: 3x - 4y + z + 16 = 0,\quad \Pi_2: 4x - z + 6 = 0. $$ 两已知平面的法向量分别为： $$ \mathbf{n}_1 = (3, -4, 1),\quad \mathbf{n}_2 = (4, 0, -1). $$

2. **确定所求平面的法向量** 因为所求平面同时垂直于 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$，所以它的法向量 $\mathbf{n}$ 应同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，即 $\mathbf{n}$ 平行于 $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。

计算叉积： $$ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix}. $$

按第一行展开： $$ \mathbf{i} \cdot ((-4)(-1) - (1)(0)) - \mathbf{j} \cdot ((3)(-1) - (1)(4)) + \mathbf{k} \cdot ((3)(0) - (-4)(4)). $$

计算各分量： - $i$ 分量：$(-4)(-1) - 0 = 4$， - $j$ 分量：注意负号，先算括号内 $(3)(-1) - (1)(4) = -3 - 4 = -7$，再取负得 $-(-7)=7$，但注意公式是 $-\mathbf{j}\cdot(\cdots)$，所以实际 $j$ 分量为 $-(-7)=7$，即系数为 $7$， - $k$ 分量：$0 - (-16) = 16$。

因此： $$ \mathbf{n} = (4, 7, 16). $$

3. **写出平面方程** 过点 $M_0(1,2,-1)$ 且法向量为 $(4,7,16)$ 的平面方程为： $$ 4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0. $$

化简： $$ 4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0, $$ $$ 4x + 7y + 16z - 2 = 0. $$

4. **最终结果** $$ \boxed{4x + 7y + 16z - 2 = 0}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：分析题意，提取已知条件
所求平面过点 M0(1,2,-1)，且垂直于两个已知平面：Π1: 3x-4y+z+16=0 和 Π2: 4x-z+6=0。两已知平面的法向量分别为 n1=(3,-4,1)，n2=(4,0,-1)。
提示：注意平面方程中法向量的系数对应 x, y, z 的系数。
步骤 2/3
目标：确定所求平面的法向量
因为所求平面同时垂直于 Π1 和 Π2，所以它的法向量 n 应同时垂直于 n1 和 n2，即 n 平行于 n1×n2。计算叉积：n = n1×n2 = (4, 7, 16)。
公式：n = n1 × n2 = |i j k; 3 -4 1; 4 0 -1| = (4, 7, 16)
提示：叉积计算时注意符号，按行列式展开。
步骤 3/3
目标：写出平面方程
过点 M0(1,2,-1) 且法向量为 (4,7,16) 的平面方程为：4(x-1)+7(y-2)+16(z+1)=0。化简得：4x+7y+16z-2=0。
公式：点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
提示：代入点坐标时注意符号。

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