同济高数 第8章 第8-3-5题

教材习题

📝 题目

5．求平面 $2 x-2 y+z+5=0$ 与各坐标面的夹角的余弦．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 平面方程为 $$ 2x - 2y + z + 5 = 0 $$ 其法向量为 $$ \vec{n} = (2, -2, 1) $$ 坐标面分别为 $xOy$ 面（法向量 $\vec{k} = (0,0,1)$）、$yOz$ 面（法向量 $\vec{i} = (1,0,0)$）、$zOx$ 面（法向量 $\vec{j} = (0,1,0)$）。 两平面夹角定义为它们法向量之间锐角的余弦值（取绝对值）。

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**1. 与 $xOy$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_1 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|\,|\vec{k}|} = \frac{|2\cdot 0 + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{1}{3} $$

**2. 与 $yOz$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_2 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{i}|}{|\vec{n}|\,|\vec{i}|} = \frac{|2\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 0|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $$

**3. 与 $zOx$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_3 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{j}|}{|\vec{n}|\,|\vec{j}|} = \frac{|2\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot 0|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $$

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因此，该平面与三个坐标面夹角的余弦分别为 $$ \boxed{\frac{1}{3},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{2}{3}} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定平面的法向量
平面方程为 2x - 2y + z + 5 = 0，其法向量为 n = (2, -2, 1)。
公式：平面 Ax + By + Cz + D = 0 的法向量为 (A, B, C)
提示：注意法向量与平面垂直。
步骤 2/5
目标：确定坐标面的法向量
xOy 面的法向量为 k = (0,0,1)，yOz 面的法向量为 i = (1,0,0)，zOx 面的法向量为 j = (0,1,0)。
公式：坐标面的法向量是垂直于该面的单位向量
提示：xOy 面即 z=0，法向量沿 z 轴。
步骤 3/5
目标：计算与 xOy 面夹角的余弦
计算 n 与 k 的点积绝对值除以模长乘积：|n·k| = |2*0 + (-2)*0 + 1*1| = 1，|n| = √(2²+(-2)²+1²)=3，|k|=1，所以 cosθ₁ = 1/3。
公式：cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁| |n₂|)
提示：两平面夹角取锐角，所以用绝对值。
步骤 4/5
目标：计算与 yOz 面夹角的余弦
计算 n 与 i 的点积绝对值：|n·i| = |2*1 + (-2)*0 + 1*0| = 2，|n|=3，|i|=1，所以 cosθ₂ = 2/3。
公式：cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁| |n₂|)
提示：yOz 面即 x=0。
步骤 5/5
目标：计算与 zOx 面夹角的余弦
计算 n 与 j 的点积绝对值：|n·j| = |2*0 + (-2)*1 + 1*0| = 2，|n|=3，|j|=1，所以 cosθ₃ = 2/3。
公式：cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁| |n₂|)
提示：zOx 面即 y=0。

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