同济高数 第8章 第8-4-16题
📝 题目
16．画出下列各平面所围成的立体的图形： （1）$x=0, y=0, z=0, x=2, y=1,3 x+4 y+2 z-12=0$ ； （2）$\displaystyle x=0, z=0, x=1, y=2, z=\frac{y}{4}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**习题8-4 第16题** 画出下列各平面所围成的立体的图形。
---
### （1）平面组： $x=0,\ y=0,\ z=0,\ x=2,\ y=1,\ 3x+4y+2z-12=0$
**步骤1：分析各平面** - $x=0$ 与 $x=2$：两个平行于 $yz$ 平面的平面，限制 $x$ 范围 $0 \le x \le 2$。 - $y=0$ 与 $y=1$：两个平行于 $xz$ 平面的平面，限制 $y$ 范围 $0 \le y \le 1$。 - $z=0$：底面（$xy$ 平面）。 - $3x+4y+2z-12=0$：斜平面，改写为 $\displaystyle z = \frac{12 - 3x - 4y}{2}$。 它在 $x=0,y=0$ 时 $z=6$；在 $x=2,y=0$ 时 $z=3$；在 $x=0,y=1$ 时 $z=4$；在 $x=2,y=1$ 时 $z=1$。 因此该平面在 $x\in[0,2], y\in[0,1]$ 区域内位于 $z=0$ 之上，构成顶部。
**步骤2：立体形状** 立体是一个底面为矩形 $0\le x\le2,\ 0\le y\le1$ 在 $z=0$ 上，顶部为斜平面 $\displaystyle z = \frac{12-3x-4y}{2}$ 的直柱体（平截头楔形体）。 四个侧面分别是 $x=0, x=2, y=0, y=1$ 的竖直平面。
**步骤3：图形描述** - 底面：矩形 $0\le x\le2,\ 0\le y\le1$ 在 $z=0$。 - 顶面：四边形，四个顶点为： $(0,0,6),\ (2,0,3),\ (0,1,4),\ (2,1,1)$。 - 侧面：四个竖直矩形面，高度由顶面斜线决定。
---
### （2）平面组： $\displaystyle x=0,\ z=0,\ x=1,\ y=2,\ z=\frac{y}{4}$
**步骤1：分析各平面** - $x=0$ 与 $x=1$：两个平行于 $yz$ 平面的平面，限制 $x$ 范围 $0\le x\le1$。 - $z=0$：底面。 - $y=2$：竖直平面，平行于 $xz$ 平面，限制 $y\le2$。 - $\displaystyle z = \frac{y}{4}$：斜平面，过原点，沿 $y$ 方向上升。 注意这里缺少 $y=0$ 的平面，所以 $y$ 的下界由 $\displaystyle z=\frac{y}{4}$ 与 $z=0$ 的交线决定：$y=0$。 因此实际隐含 $y\ge0$（因为 $z\ge0$ 且 $z=y/4$）。
**步骤2：立体形状** 立体是底面为 $x\in[0,1], y\in[0,2]$ 在 $z=0$ 上的矩形，顶部是斜平面 $z=y/4$。 - 在 $y=0$ 处，$z=0$；在 $y=2$ 处，$z=0.5$。 - 侧面：$x=0$、$x=1$ 为竖直矩形面；$y=2$ 为竖直矩形面（高 $0.5$）；$y=0$ 处退化为一条棱（$z=0$）。
**步骤3：图形描述** - 底面：矩形 $0\le x\le1,\ 0\le y\le2$ 在 $z=0$。 - 顶面：矩形区域上斜平面 $z=y/4$，在 $x=0$ 和 $x=1$ 处高度相同，只随 $y$ 变化。 - 形状像一块斜劈，前低后高。
---
**结论**： （1）立体为矩形底、斜顶的楔形体； （2）立体为矩形底、沿 $y$ 方向线性升高的斜劈。 （图形略，可根据上述顶点坐标和边界绘制三维坐标系中的立体。）