同济高数 第8章 第8-4-3题
📝 题目
3．用对称式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y+z=1, \\ 2 x+y+z=4 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，将直线的一般式方程转化为对称式方程。给定方程组： $$ \begin{cases} x - y + z = 1, \\ 2x + y + z = 4. \end{cases} $$
第一步，求直线上一点。令 $z = 0$，则方程组变为： $$ \begin{cases} x - y = 1, \\ 2x + y = 4. \end{cases} $$ 两式相加得 $3x = 5$，所以 $x = \frac{5}{3}$，代入第一式得 $\frac{5}{3} - y = 1$，解得 $y = \frac{2}{3}$。因此直线上一点为 $P_0\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$。
第二步，求直线的方向向量。方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两个平面的法向量： $$ \vec{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, 1). $$ 方向向量为： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}. $$ 计算得： $$ \vec{s} = \left( (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 2 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 \right) = (-2, 1, 3). $$
因此直线的对称式方程为： $$ \frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z - 0}{3}. $$ 也可以写为： $$ \frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3}. $$
第三步，化为参数方程。设 $$ \frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3} = t, $$ 则参数方程为： $$ \begin{cases} x = \frac{5}{3} - 2t, \\ y = \frac{2}{3} + t, \\ z = 3t. \end{cases} $$
**最终答案：** 对称式方程： $$ \frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3}. $$ 参数方程： $$ \begin{cases} x = \frac{5}{3} - 2t, \\ y = \frac{2}{3} + t, \\ z = 3t. \end{cases} $$
难度：★☆☆☆☆