同济高数 第8章 第8-4-4题

教材习题

📝 题目

4．求过点 $(2,0,-3)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4 z-7=0, \\ 3 x+5 y-2 z+1=0\end{array}\right.$ 垂直的平面方程．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知所求平面过点 $P_0=(2,0,-3)$，且与给定直线垂直。 给定直线由两个平面方程的交线表示： $$ \begin{cases} x - 2y + 4z - 7 = 0, \\ 3x + 5y - 2z + 1 = 0. \end{cases} $$

直线的方向向量 $\vec{s}$ 垂直于这两个平面的法向量。 第一个平面的法向量 $\vec{n}_1 = (1, -2, 4)$， 第二个平面的法向量 $\vec{n}_2 = (3, 5, -2)$。

直线的方向向量为： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2. $$

计算叉积： $$ \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-2) - (4)(5)) - \mathbf{j}((1)(-2) - (4)(3)) + \mathbf{k}((1)(5) - (-2)(3)). $$

逐步计算： - $i$ 分量：$(-2)(-2)=4$，减去 $4 \cdot 5 = 20$，得 $4 - 20 = -16$。 - $j$ 分量（注意负号）：先算括号内 $(1)(-2) - (4)(3) = -2 - 12 = -14$，前面有负号，故为 $-(-14)=14$。 - $k$ 分量：$(1)(5) - (-2)(3) = 5 + 6 = 11$。

所以： $$ \vec{s} = (-16, 14, 11). $$

因为所求平面与直线垂直，所以直线的方向向量 $\vec{s}$ 就是所求平面的法向量。 因此平面方程为： $$ -16(x - 2) + 14(y - 0) + 11(z + 3) = 0. $$

展开： $$ -16x + 32 + 14y + 11z + 33 = 0, $$ $$ -16x + 14y + 11z + 65 = 0. $$

两边乘以 $-1$ 得标准形式： $$ 16x - 14y - 11z - 65 = 0. $$

因此，所求平面方程为： $$ \boxed{16x - 14y - 11z - 65 = 0}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定直线的方向向量
给定直线由两个平面方程的交线表示，其方向向量垂直于两个平面的法向量。第一个平面的法向量 n1=(1,-2,4)，第二个平面的法向量 n2=(3,5,-2)。计算叉积 s = n1 × n2。
公式：s = n1 × n2
提示：叉积计算时注意符号，i分量：(-2)*(-2)-4*5=4-20=-16；j分量：-[(1*(-2)-4*3)]=-(-2-12)=14；k分量：1*5-(-2)*3=5+6=11。
步骤 2/3
目标：写出平面方程
所求平面与直线垂直，因此直线的方向向量 s=(-16,14,11) 即为平面的法向量。平面过点 (2,0,-3)，代入点法式方程：-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0。
公式：点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
提示：注意点坐标对应：x0=2, y0=0, z0=-3，代入时 z+3 是因为 z-(-3)=z+3。
步骤 3/3
目标：化简平面方程
展开并整理：-16x+32+14y+11z+33=0 → -16x+14y+11z+65=0。两边乘以-1得标准形式：16x-14y-11z-65=0。
提示：乘以-1是为了使x系数为正，但非必须。

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