同济高数 第8章 第8-5-10题
📝 题目
10．说明下列旋转曲面是怎样形成的： （1）$\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1$ ； （2）$\displaystyle x^{2}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ ； （3）$x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ ； （4）$(z-a)^{2}=x^{2}+y^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：**
旋转曲面是由一条平面曲线绕一条直线（旋转轴）旋转一周所形成的曲面。通常，若曲面方程中某两个变量的平方项系数相同，则曲面可由某个坐标平面内的曲线绕对应坐标轴旋转得到。
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### （1）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1$
方程中 $y^2$ 与 $z^2$ 的系数相同（分母均为9），因此该曲面是由 $xOy$ 平面或 $xOz$ 平面内的曲线绕 $x$ 轴旋转而成。
取 $z=0$，得 $$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 $$ 这是 $xOy$ 平面内的椭圆。 绕 $x$ 轴旋转，得到旋转椭球面。
**结论**：由椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成。
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### （2）$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$
方程中 $x^2$ 与 $z^2$ 系数相同（均为1），因此可由 $xOy$ 平面或 $yOz$ 平面内的曲线绕 $y$ 轴旋转而成。
取 $z=0$，得 $$ x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 $$ 这是 $xOy$ 平面内的双曲线。 绕 $y$ 轴旋转，得到旋转单叶双曲面。
**结论**：由双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 绕 $y$ 轴旋转而成。
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### （3）$x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$
方程中 $y^2$ 与 $z^2$ 系数相同（均为 $-1$），因此可由 $xOy$ 平面或 $xOz$ 平面内的曲线绕 $x$ 轴旋转而成。
取 $z=0$，得 $$ x^{2}-y^{2}=1 $$ 这是 $xOy$ 平面内的双曲线。 绕 $x$ 轴旋转，得到旋转双叶双曲面。
**结论**：由双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成。
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### （4）$(z-a)^{2}=x^{2}+y^{2}$
方程中 $x^2$ 与 $y^2$ 系数相同，因此可由 $xOz$ 平面或 $yOz$ 平面内的曲线绕 $z$ 轴旋转而成。
取 $y=0$，得 $$ (z-a)^{2}=x^{2} $$ 即 $$ z-a = \pm x $$ 这是 $xOz$ 平面内两条相交直线。 绕 $z$ 轴旋转，得到圆锥面（顶点在 $(0,0,a)$，开口沿 $z$ 轴方向）。
**结论**：由直线 $z-a = \pm x$ 绕 $z$ 轴旋转而成。