同济高数 第8章 第8-5-12题
📝 题目
12．画出下列各曲面所围立体的图形： （1）$z=0, z=3, x-y=0, x-\sqrt{3} y=0, x^{2}+y^{2}=1$（在第 I 卦限内）； （2）$x=0, y=0, z=0, x^{2}+y^{2}=R^{2}, y^{2}+z^{2}=R^{2}$（在第 I 卦限内）．
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题8-5 第12题**
**(1)** 曲面： $z=0$（底面），$z=3$（顶面）， $x-y=0$（即 $y=x$，过z轴的竖直平面）， $x-\sqrt{3}y=0$（即 $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}$，另一竖直平面）， $x^2+y^2=1$（圆柱面，半径为1，轴为z轴）， 且限制在第 I 卦限内（$x\ge0,y\ge0,z\ge0$）。
**分析**： 在 $xy$ 平面投影中，两个平面 $y=x$ 和 $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ 与圆柱面 $x^2+y^2=1$ 围成一个扇形区域。 因为 $x\ge0,y\ge0$，且 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}<1$，所以 $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ 比 $y=x$ 更靠近x轴。 这两个平面与圆柱面相交，在 $z$ 方向从 $0$ 到 $3$ 拉伸，形成立体。
**图形描述**： 立体是一个直柱体，底面是 $xy$ 平面上的扇形（圆心在原点，半径1，角度从 $\theta=\arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6$ 到 $\theta=\pi/4$），顶面是 $z=3$ 的平面截得的同样形状。
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**(2)** 曲面： $x=0$（$yz$平面），$y=0$（$xz$平面），$z=0$（$xy$平面）， $x^2+y^2=R^2$（竖直圆柱面，轴为z轴）， $y^2+z^2=R^2$（水平圆柱面，轴为x轴）， 且限制在第 I 卦限内（$x\ge0,y\ge0,z\ge0$）。
**分析**： 两个圆柱面互相垂直，半径均为 $R$，在第 I 卦限内与三个坐标平面相交。 $x=0$ 平面截 $y^2+z^2=R^2$ 得四分之一圆； $y=0$ 平面截 $x^2+z^2=R^2$ 得四分之一圆（但这里第二个圆柱是 $y^2+z^2=R^2$，所以 $y=0$ 时得 $z^2=R^2$ 即 $z=R$ 直线？注意：$y=0$ 时 $y^2+z^2=R^2$ 给出 $z=R$，是一条线，不是圆，所以需要小心）。
实际上，$y^2+z^2=R^2$ 是母线平行于x轴的圆柱面，$x^2+y^2=R^2$ 是母线平行于z轴的圆柱面。 在第 I 卦限内，它们与三个坐标平面围成的立体是两个正交圆柱体的公共部分（称为“牟合方盖”的1/8）。
**图形描述**： 立体形状像是一个1/8的“方盖”，底部是 $z=0$ 平面上的四分之一圆盘 $x^2+y^2\le R^2, x\ge0,y\ge0$，顶部被 $y^2+z^2=R^2$ 曲面截取，侧面被 $x=0$ 和 $y=0$ 平面截取，整体形状是曲面围成的弯曲立体。
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**注意**：本题只要求画出图形，不需要计算体积。以上为图形分析及描述，便于手绘草图。