同济高数 第8章 第8-5-4题
📝 题目
4．求与坐标原点 $O$ 及点 $(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求点为 $P(x,y,z)$，根据题意，点 $P$ 到原点 $O(0,0,0)$ 的距离与到点 $A(2,3,4)$ 的距离之比为 $1:2$，即
$$ \frac{|OP|}{|AP|} = \frac{1}{2} $$
写成坐标形式：
$$ \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2}} = \frac{1}{2} $$
两边平方得：
$$ \frac{x^2 + y^2 + z^2}{(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2} = \frac{1}{4} $$
交叉相乘：
$$ 4(x^2 + y^2 + z^2) = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 $$
展开右边：
$$ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $$ $$ (y-3)^2 = y^2 - 6y + 9 $$ $$ (z-4)^2 = z^2 - 8z + 16 $$
求和得：
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z + (4+9+16) = x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z + 29 $$
因此原方程为：
$$ 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z + 29 $$
移项合并同类项：
$$ (4x^2 - x^2) + (4y^2 - y^2) + (4z^2 - z^2) + 4x + 6y + 8z - 29 = 0 $$
即：
$$ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 4x + 6y + 8z - 29 = 0 $$
两边同时除以 3：
$$ x^2 + y^2 + z^2 + \frac{4}{3}x + 2y + \frac{8}{3}z - \frac{29}{3} = 0 $$
配方处理：
对于 $x$： $$ x^2 + \frac{4}{3}x = \left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} $$
对于 $y$： $$ y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 $$
对于 $z$： $$ z^2 + \frac{8}{3}z = \left(z + \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} $$
代入方程：
$$ \left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} + (y+1)^2 - 1 + \left(z + \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} - \frac{29}{3} = 0 $$
常数项合并： $$ -\frac{4}{9} - 1 - \frac{16}{9} - \frac{29}{3} = -\frac{20}{9} - 1 - \frac{29}{3} $$
将 $-1$ 和 $-\frac{29}{3}$ 通分为分母 9： $$ -1 = -\frac{9}{9}, \quad -\frac{29}{3} = -\frac{87}{9} $$
所以常数项和为： $$ -\frac{20}{9} - \frac{9}{9} - \frac{87}{9} = -\frac{116}{9} $$
于是方程化为：
$$ \left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + (y+1)^2 + \left(z + \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{116}{9} $$
这是一个球面方程，球心为 $\left(-\frac{2}{3}, -1, -\frac{4}{3}\right)$，半径 $R = \sqrt{\frac{116}{9}} = \frac{2\sqrt{29}}{3}$。
因此，该曲面是一个球面。
难度：★★☆☆☆