同济高数 第8章 第8-5-6题
📝 题目
6．将 $z O x$ 坐标面上的圆 $x^{2}+z^{2}=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：将 $zOx$ 坐标面上的圆 $x^{2}+z^{2}=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
**解答步骤**：
1. 已知在 $zOx$ 平面（即 $y=0$ 平面）上的曲线方程为： $$ x^{2} + z^{2} = 9. $$
2. 将该曲线绕 $z$ 轴旋转时，曲线上任意一点 $(x,0,z)$ 在旋转过程中到 $z$ 轴的距离保持不变。在三维空间中，点 $(x,y,z)$ 到 $z$ 轴的距离为 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
3. 因此，旋转曲面上的点满足： $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}} = |x_0|, $$ 其中 $x_0$ 是原曲线上对应点的横坐标。而原曲线方程中 $x_0^{2} + z^{2} = 9$，所以用 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 代替 $|x_0|$ 可得： $$ (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} + z^{2} = 9. $$
4. 化简即得旋转曲面方程： $$ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. $$
**最终结果**： $$ \boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}=9} $$ 这是一个球心在原点、半径为 $3$ 的球面。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出已知曲线方程
在 zOx 平面（即 y=0 平面）上的曲线方程为 x^2 + z^2 = 9。
公式：x^2 + z^2 = 9
提示：注意曲线在 zOx 平面上，y=0。
步骤 2/4
目标：确定旋转过程中不变的距离
绕 z 轴旋转时，曲线上任意一点 (x,0,z) 到 z 轴的距离保持不变。在三维空间中，点 (x,y,z) 到 z 轴的距离为 sqrt(x^2+y^2)。
公式：距离 = sqrt(x^2 + y^2)
提示：旋转曲面上的点满足到 z 轴的距离等于原曲线上对应点的 |x|。
步骤 3/4
目标：代入原曲线方程得到旋转曲面方程
将 sqrt(x^2+y^2) 代替原曲线方程中的 |x|，得到 (sqrt(x^2+y^2))^2 + z^2 = 9。
公式：(sqrt(x^2+y^2))^2 + z^2 = 9
提示：注意平方后绝对值消失。
步骤 4/4
目标：化简得到最终方程
化简得 x^2 + y^2 + z^2 = 9。
公式：x^2 + y^2 + z^2 = 9
提示：这是一个球心在原点、半径为3的球面。
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