同济高数 第9章 第9-8-2题
📝 题目
2．求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ 的极值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ f(x, y) = 4(x - y) - x^{2} - y^{2} $$ 的极值。
**第一步：求驻点** 先求一阶偏导数： $$ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 4 - 2x $$ $$ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = -4 - 2y $$ 令它们等于零： $$ 4 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2 $$ $$ -4 - 2y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -2 $$ 得到唯一驻点 $(2, -2)$。
**第二步：判断极值类型** 计算二阶偏导数： $$ \displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -2,\quad \displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -2,\quad \displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 $$ 构造判别式： $$ \Delta = \left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right) \left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) - \left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right)^{2} = (-2)(-2) - 0^{2} = 4 > 0 $$ 且 $\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -2 < 0$，因此该点为极大值点。
**第三步：求极大值** 代入驻点： $$ f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^{2} - (-2)^{2} = 4 \times 4 - 4 - 4 = 16 - 8 = 8 $$ 所以函数在 $(2, -2)$ 处取得极大值 $8$，无极小值。
**最终答案：** $$ \boxed{8} $$
难度：★☆☆☆☆