同济高数 第1章 第1-1-11题
📝 题目
11．求下列函数的反函数： （1）$y=\sqrt[3]{x+1}$ ； （2）$\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ ； （3）$\displaystyle y=\frac{a x+b}{c x+d}(a d-b c \neq 0)$ ； （4）$\displaystyle y=2 \sin 3 x\left(-\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ ； （5）$y=1+\ln (x+2)$ ； （6）$\displaystyle y=\frac{2^{x}}{2^{x}+1}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** $y=\sqrt[3]{x+1}$ 两边立方：$y^3 = x+1$，解得 $x = y^3 - 1$，交换 $x,y$ 得反函数 $$y = x^3 - 1$$
**（2）** $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ 两边乘以 $1+x$：$y(1+x)=1-x$ 展开：$y + yx = 1 - x$ 移项：$yx + x = 1 - y$ 即 $x(y+1)=1-y$ 解得 $\displaystyle x = \frac{1-y}{1+y}$，交换变量得 $$y = \frac{1-x}{1+x}$$ （与原来相同，说明是自反函数）
**（3）** $\displaystyle y=\frac{a x+b}{c x+d},\quad ad-bc \neq 0$ 两边乘以 $cx+d$：$y(cx+d)=ax+b$ 展开：$c y x + d y = a x + b$ 移项：$c y x - a x = b - d y$ 即 $x(cy - a) = b - d y$ 解得 $\displaystyle x = \frac{b - d y}{c y - a}$，交换变量得 $$y = \frac{b - d x}{c x - a}$$
**（4）** $\displaystyle y=2\sin 3x,\quad -\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}$ 先解出 $x$：$\displaystyle \sin 3x = \frac{y}{2}$，由定义域得 $\displaystyle 3x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，所以 $\displaystyle 3x = \arcsin\frac{y}{2}$，即 $\displaystyle x = \frac{1}{3}\arcsin\frac{y}{2}$ 值域：当 $x$ 在给定区间时，$y \in [-2,2]$，交换变量得 $$y = \frac{1}{3}\arcsin\frac{x}{2},\quad -2 \le x \le 2$$
**（5）** $y=1+\ln(x+2)$ 移项：$\ln(x+2) = y-1$ 指数化：$x+2 = e^{y-1}$ 得 $x = e^{y-1} - 2$，交换变量得 $$y = e^{x-1} - 2$$
**（6）** $\displaystyle y=\frac{2^x}{2^x+1}$ 两边乘以分母：$y(2^x+1)=2^x$ 展开：$y2^x + y = 2^x$ 移项：$y2^x - 2^x = -y$ 即 $2^x(y-1) = -y$ 所以 $\displaystyle 2^x = \frac{-y}{y-1} = \frac{y}{1-y}$ 取以2为底的对数：$\displaystyle x = \log_2\frac{y}{1-y}$ 交换变量得 $$y = \log_2\frac{x}{1-x},\quad 0