同济高数 第1章 第1-1-3题

[AI解答]

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**第一步：分析函数定义** 函数 $\varphi(x)$ 是分段函数： - 当 $\displaystyle |x| < \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = |\sin x|$； - 当 $\displaystyle |x| \ge \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = 0$。

注意 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$。

**第二步：计算各点的函数值**

1. 求 $\displaystyle \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 因为 $\displaystyle \left|\frac{\pi}{6}\right| = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{6}\right| = \left|\frac12\right| = \frac12. $$

2. 求 $\displaystyle \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 因为 $\displaystyle \left|\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{4}\right| = \left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

3. 求 $\displaystyle \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ 因为 $\displaystyle \left|-\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right| = \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

4. 求 $\varphi(-2)$ 因为 $\displaystyle |-2| = 2 > \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \varphi(-2) = 0. $$

**第三步：作函数图形** 函数 $y = \varphi(x)$ 的图形描述如下： - 在区间 $\displaystyle (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ 内，函数取 $|\sin x|$ 的值，即一个偶函数形状，在 $x=0$ 处为 $0$，在 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{6}$ 处为 $0.5$，在 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{4}$ 处为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$，在端点 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{3}$ 处，由于 $\displaystyle |\sin(\pm\frac{\pi}{3})| = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$，但注意定义中 $\displaystyle |x|<\frac{\pi}{3}$ 时取该值，端点处属于 $\displaystyle |x|\ge\frac{\pi}{3}$，因此取 $0$，所以图形在端点处跳跃到 $0$。 - 在 $\displaystyle |x| \ge \frac{\pi}{3}$ 的区域，函数值恒为 $0$。

图形大致为：中间一段类似拱形（$|\sin x|$ 的波形但只取中间一段），两边水平线在 $x$ 轴上。

**最终答案** $$ \boxed{\frac12},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{0}. $$