同济高数 第1章 第1-1-5题
📝 题目
5．试证下列函数在指定区间内的单调性： （1）$\displaystyle y=\frac{x}{1-x},(-\infty, 1)$ ； （2）$y=x+\ln x,(0,+\infty)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：试证下列函数在指定区间内的单调性： （1）$ y = \frac{x}{1-x} , (-\infty, 1) $； （2）$ y = x + \ln x , (0, +\infty) $。
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### （1）证明 $ y = \frac{x}{1-x} $ 在 $ (-\infty, 1) $ 上单调递增
**步骤1**：求导数 $$ y' = \frac{(1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x + x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} $$
**步骤2**：判断符号 在区间 $ (-\infty, 1) $ 上，分母 $ (1-x)^2 > 0 $，因此 $$ y' = \frac{1}{(1-x)^2} > 0 $$
**步骤3**：结论 由于导数恒正，函数在 $ (-\infty, 1) $ 上严格单调递增。
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### （2）证明 $ y = x + \ln x $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增
**步骤1**：求导数 $$ y' = 1 + \frac{1}{x} $$
**步骤2**：判断符号 在区间 $ (0, +\infty) $ 上，$ x > 0 $，因此 $ \frac{1}{x} > 0 $，从而 $$ y' = 1 + \frac{1}{x} > 0 $$
**步骤3**：结论 由于导数恒正，函数在 $ (0, +\infty) $ 上严格单调递增。
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综上，两个函数均在指定区间内严格单调递增。