同济高数 第1章 第1-1-6题
📝 题目
6．讨论下列函数的单调性： （1）$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$ ； （2）$\displaystyle f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ ，其中 $a, b, c, d \in \mathbf{R}, c\gt 0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 给定二次函数 $$ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 $$ 求导数： $$ f'(x) = 2a x + b $$ 令 $ f'(x) = 0 $ 得驻点 $$ x_0 = -\frac{b}{2a} $$
- 若 $ a > 0 $，则当 $ x < x_0 $ 时 $ f'(x) < 0 $，函数单调递减；当 $ x > x_0 $ 时 $ f'(x) > 0 $，函数单调递增。 - 若 $ a < 0 $，则当 $ x < x_0 $ 时 $ f'(x) > 0 $，函数单调递增；当 $ x > x_0 $ 时 $ f'(x) < 0 $，函数单调递减。
因此，二次函数的单调性由二次项系数 $ a $ 的符号决定，且在顶点 $ x = -\frac{b}{2a} $ 处改变单调性。
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**（2）** 给定有理函数 $$ f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}, \quad c > 0 $$ 定义域为 $ x \neq -\frac{d}{c} $。求导数（使用商的求导法则）： $$ f'(x) = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx+d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2} $$ 由于分母 $(cx+d)^2 > 0$（在定义域内），导数的符号完全由分子 $ ad - bc $ 决定：
- 若 $ ad - bc > 0 $，则 $ f'(x) > 0 $ 对所有 $ x \neq -\frac{d}{c} $ 成立，函数在 $ (-\infty, -\frac{d}{c}) $ 和 $ (-\frac{d}{c}, +\infty) $ 上分别严格单调递增。 - 若 $ ad - bc < 0 $，则 $ f'(x) < 0 $，函数在两个区间上分别严格单调递减。 - 若 $ ad - bc = 0 $，则 $ f'(x) = 0 $，此时函数为常数函数 $ f(x) = \frac{a}{c} $（因为分子分母成比例），在定义域内不增不减。
注意：由于分母有零点，函数在 $ x = -\frac{d}{c} $ 处间断，因此单调性只能分别在两个连续区间上讨论。