同济高数 第1章 第1-10-1题
📝 题目
1．假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，并且对 $[0,1]$ 上任一点 $x$ 有 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．试证明 $[0,1]$
中必存在一点 $c$ ，使得 $f(c)=c$（ $c$ 称为函数 $f(x)$ 的不动点）．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 考虑辅助函数 $$ F(x) = f(x) - x, $$ 由题设，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，而 $x$ 在 $[0,1]$ 上也连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
计算端点处的函数值： 当 $x=0$ 时， $$ F(0) = f(0) - 0 = f(0) \ge 0, $$ 当 $x=1$ 时， $$ F(1) = f(1) - 1 \le 0. $$
于是有 $$ F(0) \ge 0, \quad F(1) \le 0. $$
若 $F(0)=0$，则 $c=0$ 即为不动点； 若 $F(1)=0$，则 $c=1$ 即为不动点。 否则，$F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，由闭区间上连续函数的介值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $$ F(c) = 0, $$ 即 $$ f(c) - c = 0 \quad \Rightarrow \quad f(c) = c. $$
综上，必存在 $c \in [0,1]$ 使得 $f(c)=c$。 证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数
令 F(x) = f(x) - x，由 f(x) 在 [0,1] 上连续，x 连续，故 F(x) 在 [0,1] 上连续。
公式：F(x) = f(x) - x
提示：辅助函数是连接已知条件和结论的桥梁，通常将结论等式移项构造。
步骤 2/5
目标：计算端点函数值
F(0) = f(0) - 0 = f(0) ≥ 0；F(1) = f(1) - 1 ≤ 0。
公式：F(0) ≥ 0, F(1) ≤ 0
提示：利用已知条件 0 ≤ f(x) ≤ 1 得到端点符号。
步骤 3/5
目标：分类讨论
若 F(0)=0，则 c=0 为不动点；若 F(1)=0，则 c=1 为不动点；否则 F(0)>0 且 F(1)<0。
提示：先检查端点是否满足，避免遗漏。
步骤 4/5
目标：应用介值定理
由闭区间上连续函数的介值定理，存在 c∈(0,1) 使得 F(c)=0，即 f(c)=c。
公式：介值定理：若 F(a) 与 F(b) 异号，则存在 ξ∈(a,b) 使 F(ξ)=0
提示：介值定理要求函数连续且端点函数值异号。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，必存在 c∈[0,1] 使得 f(c)=c。
提示：总结所有情况，确保结论完整。
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