同济高数 第1章 第1-10-2题
📝 题目
2．证明方程 $x^{5}-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：证明方程 $x^{5} - 3x = 1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间。
**证明**：
考虑函数 $$ f(x) = x^{5} - 3x - 1 $$ 该函数在区间 $[1, 2]$ 上连续（因为它是多项式函数）。
计算区间端点的函数值：
当 $x = 1$ 时， $$ f(1) = 1^{5} - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 < 0 $$
当 $x = 2$ 时， $$ f(2) = 2^{5} - 3 \cdot 2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25 > 0 $$
因此有 $$ f(1) < 0, \quad f(2) > 0 $$
由连续函数的零点定理（介值定理），在区间 $(1, 2)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$ f(\xi) = 0 $$ 即 $$ \xi^{5} - 3\xi = 1 $$ 所以方程 $x^{5} - 3x = 1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间。
证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并验证连续性
令 f(x) = x^5 - 3x - 1，该函数在 [1,2] 上连续，因为它是多项式函数。
公式：f(x) = x^5 - 3x - 1
提示：多项式函数在全体实数上连续，因此闭区间上连续。
步骤 2/3
目标：计算端点函数值
计算 f(1) = 1^5 - 3*1 - 1 = -3 < 0；f(2) = 2^5 - 3*2 - 1 = 25 > 0。
公式：f(1) = -3, f(2) = 25
提示：注意符号：f(1)为负，f(2)为正。
步骤 3/3
目标：应用零点定理
由于 f(1) < 0 且 f(2) > 0，由连续函数的零点定理，存在 ξ ∈ (1,2) 使得 f(ξ)=0，即 ξ^5 - 3ξ = 1。
公式：零点定理：若 f 在 [a,b] 连续且 f(a)f(b)<0，则存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0。
提示：零点定理要求函数连续且端点函数值异号。
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