同济高数 第1章 第1-10-3题

[AI解答]

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**题目**：证明方程 $x = a \sin x + b$，其中 $a>0, b>0$，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$。

**证明**：

考虑函数 $$ f(x) = x - a \sin x - b. $$ 我们需要证明存在 $x_0 > 0$，使得 $f(x_0) = 0$，且 $x_0 \le a+b$。

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**第一步：确定区间端点函数值符号**

1. 当 $x = 0$ 时， $$ f(0) = 0 - a \sin 0 - b = -b < 0. $$

2. 当 $x = a+b$ 时， $$ f(a+b) = (a+b) - a \sin(a+b) - b = a - a \sin(a+b) = a(1 - \sin(a+b)). $$ 由于 $\sin(a+b) \le 1$，所以 $1 - \sin(a+b) \ge 0$，因此 $$ f(a+b) \ge 0. $$

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**第二步：分类讨论**

- 若 $\sin(a+b) = 1$，则 $f(a+b) = 0$，此时 $x = a+b$ 即为一个正根，且不超过 $a+b$，结论成立。

- 若 $\sin(a+b) < 1$，则 $f(a+b) > 0$。此时有 $$ f(0) < 0, \quad f(a+b) > 0, $$ 且 $f(x)$ 在 $[0, a+b]$ 上连续（由初等函数连续性可知）。根据零点定理，存在 $\xi \in (0, a+b)$，使得 $f(\xi) = 0$，即 $$ \xi = a \sin \xi + b, $$ 且显然 $\xi > 0$，$\xi < a+b$。

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**第三步：结论**

综上，方程 $x = a \sin x + b$ 至少有一个正根，且该根不超过 $a+b$。证毕。