同济高数 第1章 第1-2-*7题
📝 题目
＊7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，又 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$ ．
💡 答案解析
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**题目**：设数列 $\{x_n\}$ 有界，又 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$。
**证明**：
由于数列 $\{x_n\}$ 有界，根据定义，存在常数 $M > 0$，使得对一切正整数 $n$，都有 $$ |x_n| \le M. $$
又因为 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，由极限定义：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $$ |y_n| < \frac{\varepsilon}{M}. $$
于是，当 $n > N$ 时， $$ |x_n y_n| = |x_n| \cdot |y_n| \le M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon. $$
由极限定义可知 $$ \lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0. $$
证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用数列有界性
由于数列 {x_n} 有界，存在常数 M > 0，使得对一切正整数 n，有 |x_n| ≤ M。
公式：|x_n| ≤ M
提示：有界性的定义：存在正数 M 使得所有项绝对值不超过 M。
步骤 2/4
目标：利用 y_n 趋于 0 的条件
因为 lim y_n = 0，对任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，当 n > N 时，有 |y_n| < ε/M。
公式：|y_n| < ε/M
提示：极限定义：对任意正数，存在 N 使得 n>N 时项绝对值小于该正数。
步骤 3/4
目标：估计乘积的绝对值
当 n > N 时，|x_n y_n| = |x_n|·|y_n| ≤ M·(ε/M) = ε。
公式：|x_n y_n| ≤ ε
提示：利用绝对值不等式和已得的不等式。
步骤 4/4
目标：由极限定义得出结论
由极限定义，对任意 ε > 0，存在 N，当 n > N 时 |x_n y_n| < ε，故 lim x_n y_n = 0。
提示：极限定义：对任意正数 ε，存在 N 使得 n>N 时项与极限差绝对值小于 ε。
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