同济高数 第1章 第1-3-*12题
📝 题目
＊12．试给出 $x \rightarrow \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明．
💡 答案解析
[AI解答]
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**定理（局部有界性）** 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$（$A$ 为有限常数），则存在 $X > 0$ 及 $M > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$。即函数在无穷远处局部有界。
**证明** 由极限定义： 对 $\varepsilon = 1 > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ |f(x) - A| < 1. $$ 于是由绝对值不等式， $$ |f(x)| = |f(x) - A + A| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|. $$ 取 $M = 1 + |A|$，则当 $|x| > X$ 时，恒有 $|f(x)| < M$，即 $|f(x)| \leq M$ 成立。 证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：陈述定理内容
定理：若 lim_{x→∞} f(x) = A（A为有限常数），则存在 X>0 及 M>0，使得当 |x|>X 时，恒有 |f(x)| ≤ M。即函数在无穷远处局部有界。
提示：注意极限过程是 x→∞，即 |x|→∞。
步骤 2/4
目标：利用极限定义取定 ε=1
由极限定义，对 ε=1>0，存在 X>0，使得当 |x|>X 时，有 |f(x)-A|<1。
公式：|f(x)-A|<1
提示：ε 取任意正数均可，取 1 是为了方便。
步骤 3/4
目标：利用绝对值不等式放缩
由 |f(x)| = |f(x)-A+A| ≤ |f(x)-A| + |A| < 1 + |A|。
公式：|f(x)| ≤ |f(x)-A| + |A|
提示：这是三角不等式。
步骤 4/4
目标：取 M 并完成证明
取 M = 1 + |A|，则当 |x|>X 时，有 |f(x)| < M，即 |f(x)| ≤ M 成立。证毕。
公式：M = 1 + |A|
提示：M 是正数，保证了有界性。
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