同济高数 第1章 第1-3-*11题

[AI解答]

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**题目**：根据函数极限的定义证明：函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。

**证明**：

我们设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义。

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### 必要性（若极限存在，则左右极限存在且相等）

假设 $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $$ 根据函数极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义： 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon $$

此时，若 $x$ 从左侧趋近于 $x_0$，即 $x_0 - \delta < x < x_0$，则显然也满足 $0 < |x - x_0| < \delta$，因此 $$ |f(x) - A| < \varepsilon $$ 这说明 $$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A $$ 同理，对于右侧 $x_0 < x < x_0 + \delta$，同样有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，因此 $$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A $$ 必要性得证。

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### 充分性（若左右极限存在且相等，则极限存在）

设 $$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A $$ 由左极限定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x_0 - \delta_1 < x < x_0$ 时，有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon $$ 由右极限定义：对同样的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta_2$ 时，有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon $$ 取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$x$ 要么落在左侧邻域，要么落在右侧邻域，无论哪种情况都有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon $$ 因此 $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $$ 充分性得证。

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综上，函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。证毕。