同济高数 第1章 第1-3-4题
📝 题目
4．求 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x}, \varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先分析函数 $ f(x) = \frac{x}{x} $。 对于任意 $ x \neq 0 $，显然有 $$ f(x) = \frac{x}{x} = 1. $$ 因此，当 $ x \to 0 $ 时，无论是从左侧还是右侧趋近，函数值恒为 1。 左极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1, $$ 右极限： $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1. $$ 由于左右极限相等且为 1，所以 $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 1, $$ 极限存在。
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再分析函数 $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $。 当 $ x > 0 $ 时，$ |x| = x $，所以 $$ \varphi(x) = \frac{x}{x} = 1. $$ 当 $ x < 0 $ 时，$ |x| = -x $，所以 $$ \varphi(x) = \frac{-x}{x} = -1. $$ 因此，右极限（从正侧趋近 0）： $$ \lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 1, $$ 左极限（从负侧趋近 0）： $$ \lim_{x \to 0^-} \varphi(x) = -1. $$ 由于左右极限不相等，故 $$ \lim_{x \to 0} \varphi(x) $$ 不存在。
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**结论**： - $ f(x) = \frac{x}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时极限存在，为 1。 - $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时极限不存在。