同济高数 第1章 第1-7-2题
📝 题目
2．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(1-\cos x)^{2}$ 与 $\sin ^{2} x$ 相比，哪一个是高阶无穷小？
💡 答案解析
[AI解答]
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要比较当 $x \to 0$ 时，$(1-\cos x)^2$ 与 $\sin^2 x$ 哪个是更高阶的无穷小，我们考虑它们的比值的极限。
首先，利用等价无穷小代换： 当 $x \to 0$ 时， $$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2, $$ $$ \sin x \sim x. $$
因此， $$ (1 - \cos x)^2 \sim \left( \frac{1}{2} x^2 \right)^2 = \frac{1}{4} x^4, $$ $$ \sin^2 x \sim x^2. $$
现在我们比较这两个无穷小的阶数，计算 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} x^4}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} x^2 = 0. $$
由于极限为 0，说明分子 $(1-\cos x)^2$ 是比分母 $\sin^2 x$ 更高阶的无穷小。
因此，当 $x \to 0$ 时，$(1-\cos x)^2$ 是比 $\sin^2 x$ 更高阶的无穷小。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：比较两个无穷小的阶数
要比较当 x→0 时 (1-cos x)^2 与 sin^2 x 哪个是更高阶的无穷小，考虑它们的比值的极限。
步骤 2/4
目标：应用等价无穷小代换
当 x→0 时，1-cos x ~ (1/2)x^2，sin x ~ x。因此 (1-cos x)^2 ~ (1/4)x^4，sin^2 x ~ x^2。
公式：1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad \sin x \sim x
提示：熟记常见的等价无穷小代换。
步骤 3/4
目标：计算比值的极限
计算极限 lim_{x→0} (1-cos x)^2 / sin^2 x = lim_{x→0} (1/4)x^4 / x^2 = lim_{x→0} (1/4)x^2 = 0。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^4}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4}x^2 = 0
提示：极限为0说明分子是分母的高阶无穷小。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于极限为0，所以 (1-cos x)^2 是比 sin^2 x 更高阶的无穷小。
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