同济高数 第1章 第1-8-5题
📝 题目
5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续； （2）如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐条分析并给出判断。
（1）**陈述：** 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续。 **判断：正确。** **理由：** 由函数连续的定义，若 $f$ 在 $x=a$ 处连续，则 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a). $$ 考虑绝对值函数 $g(t)=|t|$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，由连续函数的复合性质， $$ \lim_{x\to a} |f(x)| = \left|\lim_{x\to a} f(x)\right| = |f(a)|, $$ 因此 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处连续。
（2）**陈述：** 如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续。 **判断：错误。** **反例：** 考虑函数 $$ f(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0,\\ -1, & x < 0. \end{cases} $$ 则 $|f(x)| = 1$ 处处连续，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断，显然不连续。
因此： - 第（1）题：对 - 第（2）题：错
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断陈述（1）的正确性
由函数连续的定义，若f在x=a处连续，则lim_{x→a} f(x)=f(a)。考虑绝对值函数g(t)=|t|在R上连续，由连续函数的复合性质，lim_{x→a} |f(x)| = |lim_{x→a} f(x)| = |f(a)|，因此|f(x)|在x=a处连续。故陈述（1）正确。
公式：lim_{x→a} |f(x)| = |lim_{x→a} f(x)|
提示：利用连续函数的复合性质。
步骤 2/2
目标：判断陈述（2）的正确性
考虑反例：f(x) = 1 (x≥0), -1 (x<0)。则|f(x)|=1处处连续，但f(x)在x=0处不连续（跳跃间断）。故陈述（2）错误。
提示：构造符号函数或分段常值函数。
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