同济高数 第1章 第1-8-*6题
📝 题目
＊6．证明：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续且 $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则存在 $x_{0}$ 的某一邻域 $U\left(x_{0}\right)$ ，当 $x \in U\left(x_{0}\right)$ 时， $f(x) \neq 0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续，且 $ f(x_0) \neq 0 $。 由连续性的定义：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon. $$ 现在取 $$ \varepsilon = \frac{|f(x_0)|}{2} > 0, $$ 因为 $ f(x_0) \neq 0 $，所以这个 $\varepsilon$ 是正数。 于是存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) - f(x_0)| < \frac{|f(x_0)|}{2}. $$ 由绝对值不等式， $$ |f(x)| \geq |f(x_0)| - |f(x) - f(x_0)| > |f(x_0)| - \frac{|f(x_0)|}{2} = \frac{|f(x_0)|}{2} > 0. $$ 因此，在邻域 $ U(x_0) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 内，对所有 $ x $ 都有 $ f(x) \neq 0 $。 证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用连续定义，构造ε
由函数f(x)在x0处连续，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε。取ε=|f(x0)|/2>0，则存在δ>0满足上述不等式。
公式：|f(x)-f(x0)|<|f(x0)|/2
提示：ε的选取是关键，要利用f(x0)≠0的条件。
步骤 2/3
目标：利用绝对值不等式推出f(x)≠0
由绝对值不等式，|f(x)| ≥ |f(x0)| - |f(x)-f(x0)| > |f(x0)| - |f(x0)|/2 = |f(x0)|/2 > 0，因此f(x)≠0。
公式：|f(x)| ≥ |f(x0)| - |f(x)-f(x0)|
提示：注意绝对值不等式的方向。
步骤 3/3
目标：得出邻域结论
取U(x0)=(x0-δ, x0+δ)，则当x∈U(x0)时，f(x)≠0。
提示：邻域由δ确定。
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