同济高数 第1章 第1-9-6题
📝 题目
6．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0, \\ a+x, & x \geqslant 0 .\end{cases} $$
应当怎样选择数 $a$ ，才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要使 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，只需检查分段点 $ x = 0 $ 处的连续性。 函数在 $ x = 0 $ 处连续的条件是：
$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x). $$
分别计算：
左极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{x} = e^{0} = 1. $$
右极限： $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + x) = a. $$
函数在 $ x = 0 $ 处的值为： $$ f(0) = a + 0 = a. $$
因此，连续条件为： $$ 1 = a. $$
所以，当 $ a = 1 $ 时，$ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定连续条件
要使 f(x) 在 (-∞,+∞) 上连续，只需检查分段点 x=0 处的连续性。函数在 x=0 处连续的条件是左极限等于右极限且等于函数值。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)
提示：分段函数在分段点处连续的条件是左右极限相等且等于该点函数值。
步骤 2/4
目标：计算左极限
当 x<0 时，f(x)=e^x，所以左极限为 lim_{x→0^-} e^x = e^0 = 1。
公式：\lim_{x \to 0^-} e^x = 1
提示：e^x 在 x=0 处连续，直接代入即可。
步骤 3/4
目标：计算右极限和函数值
当 x≥0 时，f(x)=a+x，所以右极限为 lim_{x→0^+} (a+x)=a，且 f(0)=a+0=a。
公式：\lim_{x \to 0^+} (a+x) = a, \quad f(0)=a
提示：a+x 是多项式，连续，直接代入。
步骤 4/4
目标：建立方程求解 a
由连续条件得左极限等于右极限：1 = a，因此 a=1。
公式：1 = a
提示：解简单方程即可。
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