同济高数 第2章 第2-1-19题
📝 题目
19．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & x\lt 0, \\ x, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知分段函数 $$ f(x)=\begin{cases} \sin x, & x<0,\\ x, & x\ge 0, \end{cases} $$ 要求导函数 $f'(x)$，需分段求导并考虑分段点 $x=0$ 处的可导性。
**第一步：分段求导** - 当 $x<0$ 时，$f(x)=\sin x$，则 $$ f'(x)=\cos x. $$ - 当 $x>0$ 时，$f(x)=x$，则 $$ f'(x)=1. $$
**第二步：讨论 $x=0$ 处的可导性** 先判断在 $x=0$ 处是否连续： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\sin 0=0$， 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$， 且 $f(0)=0$，因此连续。
再求左右导数： 左导数： $$ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x-0}{x}=1. $$ 右导数： $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x-0}{x}=1. $$ 左右导数相等，故 $f'(0)=1$。
**第三步：合并结果** 因此 $$ f'(x)=\begin{cases} \cos x, & x<0,\\ 1, & x\ge 0. \end{cases} $$
难度：★☆☆☆☆