同济高数 第2章 第2-1-18题
📝 题目
18．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f_{+}^{\prime}(0)$ 及 $f_{-}^{\prime}(0)$ ，又 $f^{\prime}(0)$ 是否存在？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，我们需要分别计算函数在 $x=0$ 处的右导数和左导数。
函数定义为： $$ f(x) = \begin{cases} -x, & x < 0, \\ x^2, & x \ge 0. \end{cases} $$
**第一步：求右导数 $f'_+(0)$**
右导数定义为： $$ f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}. $$ 当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) = x^2$，且 $f(0) = 0^2 = 0$，所以： $$ f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0. $$
**第二步：求左导数 $f'_-(0)$**
左导数定义为： $$ f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}. $$ 当 $x \to 0^-$ 时，$f(x) = -x$，且 $f(0) = 0$，所以： $$ f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1. $$
**第三步：判断 $f'(0)$ 是否存在**
函数在 $x=0$ 处可导的充要条件是左右导数存在且相等。这里： $$ f'_+(0) = 0, \quad f'_-(0) = -1, $$ 两者不相等，因此 $f'(0)$ 不存在。
**最终结果：** $$ \boxed{f'_+(0)=0,\quad f'_-(0)=-1,\quad f'(0)\text{不存在}} $$
难度评级：★★☆☆☆